MATLAB语言的并查集-优快云博客

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并查集（Union-Find）在 MATLAB 中的实现与应用

一、引言

并查集是一种用于处理不交集合（Disjoint Set）合并和查询的问题的数据结构。它特别适合于动态连通性问题，比如判断两个元素是否在同一个集合中。并查集被广泛应用于网络连通性、社交网络分析、图的连通性问题及其他需要进行集合合并和查询的场景。

本文将详细介绍并查集的基本概念、算法以及如何在 MATLAB 中实现这一数据结构，并给出一些应用示例，帮助读者深入理解并查集的魅力与实用性。

二、并查集的基本概念

并查集主要支持两个操作：

Find：查询元素所在的集合，返回该元素的根节点。
Union：将两个集合合并成一个集合。

2.1 数据结构

并查集通常使用一个数组来存储每个元素的父节点。假设有 ( n ) 个元素，我们可以用一个大小为 ( n ) 的数组 parent 来表示每个元素的父节点。

如果 parent[i] = i，则元素 ( i ) 是一个根节点。
如果 parent[i] \neq i，则元素 ( i ) 不是根节点，其父节点为 parent[i]。

2.2 路径压缩

为了优化 Find 操作，我们可以采用路径压缩（Path Compression）技术。在查找过程中，将沿途的节点都指向根节点，从而降低树的高度，加速后续的操作。

2.3 按秩合并

在进行 Union 操作时，我们可以根据集合的大小（或秩）来优化合并过程。我们将较小的集合合并到较大的集合下，从而减小树的高度。

三、MATLAB 中的并查集实现

3.1 初始化

首先，我们需要编写一个函数来初始化并查集的数据结构，代码如下：

matlab function parent = initializeUnionFind(n) % 初始化并查集，父节点数组为 1 到 n parent = 1:n; end

3.2 查找操作

接下来，实现 Find 操作，同时应用路径压缩：

matlab function root = find(parent, x) if parent(x) ~= x parent(x) = find(parent, parent(x)); % 路径压缩 end root = parent(x); end

3.3 合并操作

然后我们可以实现 Union 操作，该操作将两个元素所在的集合合并：

```matlab function parent = union(parent, x, y) rootX = find(parent, x); rootY = find(parent, y);

if rootX ~= rootY
    parent(rootY) = rootX; % 将 rootY 的根节点指向 rootX
end

end ```

3.4 完整的并查集类

为了更好地组织代码，我们可以把所有功能放入一个类中。MATLAB 支持类定义，以下是完整的 UnionFind 类代码：

```matlab classdef UnionFind properties parent rank end

methods
    function obj = UnionFind(n)
        obj.parent = 1:n; % 初始化父节点
        obj.rank = zeros(1, n); % 初始化秩
    end

    function root = find(obj, x)
        if obj.parent(x) ~= x
            obj.parent(x) = obj.find(obj.parent(x)); % 路径压缩
        end
        root = obj.parent(x);
    end

    function obj = union(obj, x, y)
        rootX = obj.find(x);
        rootY = obj.find(y);

        if rootX ~= rootY
            % 按秩合并
            if obj.rank(rootX) < obj.rank(rootY)
                obj.parent(rootX) = rootY;
            elseif obj.rank(rootX) > obj.rank(rootY)
                obj.parent(rootY) = rootX;
            else
                obj.parent(rootY) = rootX;
                obj.rank(rootX) = obj.rank(rootX) + 1;
            end
        end
    end
end

end ```

四、并查集的应用示例

4.1 树的连通性

假设我们有一系列的边，想要判断这些边是否连接成一个连通图。我们可以使用并查集来合并边，从而判断图的连通性。

```matlab function isConnected = checkGraphConnectivity(edges, n) uf = UnionFind(n);

for i = 1:size(edges, 1)
    uf = uf.union(edges(i, 1), edges(i, 2));
end

root = uf.find(1); % 查找第一个节点的根
isConnected = all(arrayfun(@(x) uf.find(x) == root, 1:n)); % 判断所有节点是否连通

end ```

4.2 社交网络中的朋友关系

在社交网络分析中，我们可以利用并查集快速判断两个用户是否在同一个朋友圈：

```matlab function areConnected = checkFriendship(friends, userA, userB) n = max([friends(:, 1); friends(:, 2)]); uf = UnionFind(n);

for i = 1:size(friends, 1)
    uf = uf.union(friends(i, 1), friends(i, 2));
end

areConnected = uf.find(userA) == uf.find(userB);

end ```

4.3 动态连通性

假设我们需要处理动态连通性问题，即在元素之间添加连通关系并查询连通性。我们可以在并查集的基础上实现这一功能。

```matlab function dynamicConnectivity() n = 10; % 假设有10个元素 uf = UnionFind(n);

% 添加一些连接
uf = uf.union(1, 2);
uf = uf.union(2, 3);
disp(['1和3的连通性: ', num2str(uf.find(1) == uf.find(3))]); % 应为1

uf = uf.union(4, 5);
disp(['1和4的连通性: ', num2str(uf.find(1) == uf.find(4))]); % 应为0

% 合并更多元素
uf = uf.union(3, 4);
disp(['1和4的连通性: ', num2str(uf.find(1) == uf.find(4))]); % 此时应为1

end ```