遗传算法实战：从原理到TSP问题求解

一、遗传算法核心原理

1.1 生物进化与算法映射

遗传算法（Genetic Algorithm, GA）通过模拟生物进化机制，解决复杂优化问题。其核心思想是通过选择、交叉、变异操作，在解空间中搜索全局最优解。下表展示了生物概念与算法组件的对应关系：遗传算法（Genetic Algorithm, GA）通过模拟生物进化机制，解决复杂优化问题。其核心思想是通过选择、交叉、变异操作，在解空间中搜索全局最优解。下表展示了生物概念与算法组件的对应关系：

生物学术语	遗传算法组件	作用描述
染色体（Chromosome）	解的编码（如实数序列）	存储解的表示形式
基因（Gene）	编码中的单个元素	构成解的基本单元
种群（Population）	候选解集合	算法迭代进化的基础
适应度（Fitness）	目标函数值	评估解质量的量化指标
自然选择（Selection）	选择操作	保留优质解，淘汰劣质解
交叉（Crossover）	基因重组操作	生成新解以探索解空间
变异（Mutation）	随机扰动操作	避免早熟收敛，增强多样性

1.2 算法流程框架

1. 初始化种群：生成初始候选解集合
2. 适应度评估：计算每个解的路径总长度
3. 选择操作：筛选优质个体进入下一代
4. 交叉操作：重组父代基因生成子代
5. 变异操作：对子代进行随机扰动
6. 迭代进化：重复步骤2-5直至收敛

二、TSP问题建模与参数设定

2.1 问题定义

我方需从基地（坐标$(70,40)$）出发，侦察100个目标后返回，求最短路径。问题转化为102节点TSP问题，目标函数为：
$$\min f({\pi }_1,{\pi }_2,\dots ,{\pi }_{102})=\sum _{i=1}^{101}{d}_{{\pi }_i{\pi }_{i+1}}$$
其中$d_{ij}$为节点$i$到$j$的球面距离，计算公式为：
$$d_{ij}=6370\cdot \arccos \left[\cos (x_i-x_j)\cos y_i\cos y_j+\sin y_i\sin y_j\right]$$

2.2 关键参数设置

参数	值	说明
种群规模$M$	50	影响全局搜索能力与计算效率
最大代数$G$	1000	控制算法终止条件
交叉概率$p_c$	1	确保种群充分混合
变异概率$p_m$	0.1	平衡探索与开发

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三、编码策略与种群初始化

3.1 十进制编码方案

染色体采用随机实数序列表示路径顺序：
$${\omega }_1,{\omega }_2,\dots ,{\omega }_{102}({\omega }_1=0,{\omega }_{102}=1,0<{\omega }_i<1)$$
解码步骤：

1. 去除固定基因${\omega }_1$和${\omega }_{102}$
2. 剩余基因升序排序，生成访问顺序

示例：
染色体$[0,0.23,0.45,0.11,0.78,1]$解码为路径：
$4\to 2\to 3\to 1\to 5$

3.2 改良圈算法生成初始种群

通过局部优化提升初始解质量：

% 生成初始种群
for k = 1:50
    c = randperm(100); % 随机生成初始路径
    c1 = [1, c+1, 102]; % 添加起点和终点
    flag = 1;
    while flag > 0
        flag = 0;
        % 遍历所有可能的路径段交换
        for m = 1:99
            for n = m+2:101
                % 计算路径差
                delta = d(c1(m),c1(n)) + d(c1(m+1),c1(n+1)) - ...
                        d(c1(m),c1(m+1)) - d(c1(n),c1(n+1));
                if delta < 0
                    c1(m+1:n) = c1(n:-1:m+1); % 反转路径段
                    flag = 1;
                end
            end
        end
    end
    J(k, c1) = 1:102; % 存储优化后的路径
end

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四、遗传操作核心实现

4.1 单点交叉操作

步骤：

1. 选择两个父代个体$f_1$和$f_2$
2. 随机选择交叉点$t$（如$t=33$）
3. 交换$t$之后的基因段

数学描述：
$$\begin{array}{rl}{f}_1& =[{\omega }_1^1,\dots ,{\omega }_t^1,{\omega }_{t+1}^1,\dots ,{\omega }_{102}^1]\\ f_2& =[{\omega }_1^2,\dots ,{\omega }_t^2,{\omega }_{t+1}^2,\dots ,{\omega }_{102}^2]\\ \downarrow & \downarrow \\ s_1& =[{\omega }_1^1,\dots ,{\omega }_t^1,{\omega }_{t+1}^2,\dots ,{\omega }_{102}^2]\\ s_2& =[{\omega }_1^2,\dots ,{\omega }_t^2,{\omega }_{t+1}^1,\dots ,{\omega }_{102}^1]\end{array}$$

MATLAB实现：

% 交叉操作
for i = 1:2:50
    cross_point = randi([2, 101]); % 随机交叉点
    % 交换基因段
    temp = B(i, cross_point:end);
    B(i, cross_point:end) = B(i+1, cross_point:end);
    B(i+1, cross_point:end) = temp;
end

4.2 多位置变异操作

步骤：

1. 按概率$p_m=0.1$选择变异个体
2. 随机选取三个位置$u,v,w$（$1<u<v<w<102$）
3. 将$u$到$v$的子路径插入到$w$之后

路径变化示例：
原始路径：
$1\to \underline{A\to B\to C}\to D\to \underline{E\to F}\to 102$
变异后路径：
$1\to D\to \underline{E\to F}\to \underline{A\to B\to C}\to 102$

MATLAB实现：

% 变异操作
mutate_idx = find(rand(1,50) < 0.1); % 选择变异个体
for j = mutate_idx
    pos = sort(randi([2,101], 1, 3)); % 随机三个位置
    % 插入子路径
    A(j,:) = [A(j,1:pos(1)-1), A(j,pos(2)+1:pos(3)), ...
             A(j,pos(1):pos(2)), A(j,pos(3)+1:end)];
end

4.3 确定性选择策略

保留每代适应度最高的50个个体：

% 计算适应度
[~, IX] = sort(J, 2); % 解码路径
fitness = sum(d(sub2ind(size(d), IX(:,1:101), IX(:,2:102))), 2);

% 选择前50个最优个体
[~, idx] = sort(fitness);
J = J(idx(1:50), :);

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五、完整MATLAB代码实现

% 数据加载与预处理
clc, clear
load sj.txt % 数据格式：每行8列，依次为经度1、纬度1、经度2、纬度2...
x = sj(:,1:2:8); x = x(:);
y = sj(:,2:2:8); y = y(:);
sj = [x y]; 
d1 = [70, 40];
sj0 = [d1; sj; d1]; % 添加起点和终点
sj = sj0 * pi / 180; % 转为弧度

% 计算距离矩阵
d = zeros(102);
for i = 1:101
    for j = i+1:102
        temp = cos(sj(i,1)-sj(j,1)) * cos(sj(i,2)) * cos(sj(j,2)) + ...
               sin(sj(i,2)) * sin(sj(j,2));
        d(i,j) = 6370 * acos(temp);
    end
end
d = d + d'; % 对称补全

% 改良圈算法生成初始种群
J = zeros(50, 102);
for k = 1:50
    c = randperm(100);
    c1 = [1, c+1, 102];
    flag = 1;
    while flag > 0
        flag = 0;
        for m = 1:100
            for n = m+2:101
                delta = d(c1(m),c1(n)) + d(c1(m+1),c1(n+1)) - ...
                        d(c1(m),c1(m+1)) - d(c1(n),c1(n+1));
                if delta < 0
                    c1(m+1:n) = c1(n:-1:m+1);
                    flag = 1;
                end
            end
        end
    end
    J(k, c1) = 1:102;
end

% 遗传算法主循环
for gen = 1:1000
    % 交叉操作
    B = J(randperm(50), :);
    for i = 1:2:50
        cross_point = randi([2,101]);
        temp = B(i, cross_point:end);
        B(i, cross_point:end) = B(i+1, cross_point:end);
        B(i+1, cross_point:end) = temp;
    end
    
    % 变异操作
    mutate_idx = find(rand(1,50) < 0.1);
    for j = mutate_idx
        pos = sort(randi([2,101], 1, 3));
        J(j,:) = J(j, [1:pos(1)-1, pos(2)+1:pos(3), pos(1):pos(2), pos(3)+1:end]);
    end
    
    % 选择操作
    all_solutions = [J; B];
    [~, IX] = sort(all_solutions, 2);
    fitness = sum(d(sub2ind(size(d), IX(:,1:101), IX(:,2:102))), 2);
    [~, idx] = sort(fitness);
    J = all_solutions(idx(1:50), :);
end

% 输出最优路径
[~, best_idx] = min(fitness);
best_path = IX(best_idx, :);
fprintf('最短巡航距离: %.2f 公里\n', fitness(best_idx));

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六、性能对比

算法类型	最短距离（公里）	收敛代数	计算时间（秒）
标准遗传算法	41,572	800	5.9
改进遗传算法	39,648	600	3.0
模拟退火算法	44,100	20,000	18.9