基于 Bellman-Ford 算法的加权图单源最短路径问题高效实现

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于 2025-01-05 00:16:47 发布

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分类专栏： python 文章标签：算法

原文链接：https://blog.youkuaiyun.com/2301_79441716/article/details/144937592?spm=1001.2014.3001.5501

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摘要

本文探讨了可能包含负权边的加权图中单源最短路径问题的求解，采用 Bellman-Ford 算法实现。与 Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford 算法适用于存在负权边和负权回路的图。任务是计算从源点到图中所有其他顶点的最短路径。本文详细说明了算法的实现过程，包括其检测负权回路的能力，并通过示例对其应用进行了验证。

问题描述

给定一个有向图，包含 nn 个顶点（1≤n≤5001 \leq n \leq 500）和 mm 条边（0≤m≤1040 \leq m \leq 10^4）。每条边用三个整数 u,v,wu, v, w 表示，其中：

uu 是起始顶点，
vv 是终止顶点，
ww (−106≤w≤106-10^6 \leq w \leq 10^6) 是边的权重。

任务是从顶点 11（源点）出发，计算到图中所有其他顶点的最短路径。如果存在负权回路，算法需要检测并报告。

输入格式：

第一行包含两个整数 nn 和 mm：顶点数和边数。
接下来的 mm 行，每行包含三个整数 u,v,wu, v, w：表示边的起始顶点、终止顶点和权重。

输出格式：

如果不存在负权回路，输出从源点 11 到所有其他顶点的最短距离（如果某顶点不可达，则输出 INF）。
如果存在负权回路，输出 NEGATIVE CYCLE DETECTED。

方法论：Bellman-Ford 算法

Bellman-Ford 算法可以在 O(V⋅E)O(V \cdot E) 时间内解决单源最短路径问题，适用于包含负权边的图。该算法通过对所有边进行 V−1V-1 次松弛操作来计算最短距离，并通过一次额外迭代来检测负权回路。

算法实现

以下是 Bellman-Ford 算法的 Python 实现，能够计算源点的最短路径并检测负权回路。

def bellman_ford(n, m, edges, source=1):
    # 初始化距离
    dist = [float('inf')] * (n + 1)
    dist[source] = 0

    # 松弛所有边 (V-1) 次
    for _ in range(n - 1):
        for u, v, w in edges:
            if dist[u] != float('inf') and dist[u] + w < dist[v]:
                dist[v] = dist[u] + w

    # 检测负权回路
    for u, v, w in edges:
        if dist[u] != float('inf') and dist[u] + w < dist[v]:
            print("NEGATIVE CYCLE DETECTED")
            return

    # 输出结果
    for i in range(1, n + 1):
        if dist[i] == float('inf'):
            print("INF", end=" ")
        else:
            print(dist[i], end=" ")
    print()

# 示例用法
if __name__ == "__main__":
    n, m = map(int, input().split())
    edges = [tuple(map(int, input().split())) for _ in range(m)]
    bellman_ford(n, m, edges)

示例测试

示例 1：无负权回路的图

输入：

输出：

0 6 7 4 6

示例 2：有负权回路的图

输入：

输出：

NEGATIVE CYCLE DETECTED

实现解析

初始化：
- 源点到自己的距离设为 0，其他所有顶点的距离初始化为无穷大。
松弛：
- 对每条边进行 V−1V-1 次松弛操作，其中 VV 是顶点数。松弛操作更新最短已知距离。
回路检测：
- 第 VV 次迭代尝试对所有边进行松弛，如果仍然可以更新某顶点的距离，则说明存在负权回路。
输出：
- 如果目标顶点不可达，输出 INF。
- 如果存在负权回路，则输出检测结果。

复杂度分析

时间复杂度：O(V⋅E)O(V \cdot E)，其中 VV 为顶点数，EE 为边数。主要开销来自边的松弛操作和负权回路检测。
空间复杂度：O(V)O(V)，用于存储距离信息。

应用场景

图分析：
- Bellman-Ford 算法被广泛用于计算图中负权边存在时的最短路径问题。
网络路由：
- 该算法应用于基于距离向量的路由协议（如 RIP 协议），用于计算最优路径。
回路检测：
- Bellman-Ford 算法能够有效检测负权回路，用于验证图的正确性。

结论

本文展示了 Bellman-Ford 算法在解决带负权边的加权图中单源最短路径问题中的应用。通过引入负权回路检测机制，该算法能够确保路径的有效性和一致性。未来的研究可探索 Johnson 算法在稀疏图中全源最短路径计算中的应用。

参考文献

Bellman, R. (1958). On a routing problem. Quarterly of Applied Mathematics, 16(1), 87–90.
Ford, L. R. (1956). Network Flow Theory. RAND Corporation.
Cormen, T. H., Leiserson, C. E., Rivest, R. L., & Stein, C. (2009). Introduction to Algorithms. MIT Press.