基础算法题

基础算法

计算最大公约数和最小公倍数

最大公约数GCD:欧几里得算法(辗转相除法)

原理:

如果b是a的余数,那么a和b的最大公约数就是b和a%b的最大公约数,当b为0时,a就是最大公约数

最小公倍数LCM:

LCM=|a*b|/GCD(a,b)

代码:

public class GCDLCM{
	public static void main(String[] args){
		int num1=315;
		int num2=210;
		int gcdResult=gcd(num1,num2);
		int lcmResult=lcm(num1,num2);
		System.out.println(num1+"和"+num2+"的最大公约数是"+gcdResult);
		System.out.println(num1+"和"+num2+"的最小公倍数是"+lcmResult);
	} 
	public static int gcd(int a,int b){
		while(b!=0){
			int temp=b;
			b=a%b;
			a=temp;
		}
		return a;
	}
	public static int lcm(int a,int b){
		return Math.abs(a*b)/gcd(a,b);
	}
}

01背包

1.题目

有n个物品，它们有各自的体积和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

2.例子

number＝4，capacity＝8

物品编号（i） W（体积） V（价值）
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6

3.实现

动态规划

1. 什么是动态规划
   1. 动态规划算法是通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，
      使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决。
   2. 动态规划算法的基本思想与分治法类似，也是将待求解的问题分解为若干个子问题（阶段），
      按顺序求解子阶段，前一子问题的解，为后一子问题的求解提供了有用的信息。
      在求解任一子问题时，列出各种可能的局部解，通过决策保留那些有可能达到最优的局部解，
      丢弃其他局部解。依次解决各子问题，最后一个子问题就是初始问题的解。

2.对题目分析
1.分析
面对每个物品，我们只有选择拿取或者不拿两种选择，不能选择装入某物品的一部分，也不能装入同一物品多次。
解决办法：声明一个 大小为 m[n][c]的二维数组，m[ i ][ j ] 表示 在面对第 i 件物品，且背包容量为 j 时所能获得的最大价值 ，那么我们可以很容易分析得出 m[i][j] 的计算方法，
（1) j < weight[i] 的情况，这时候背包容量不足以放下第 i 件物品，只能选择不拿
m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ]
（2）. j>=w[i] 的情况，这时背包容量可以放下第 i 件物品，我们就要考虑拿这件物品是否能获取更大的价值。
如果拿取，m[ i ][ j ]=m[ i-1 ][ j-weight[ i ] ] + value[ i ]。 这里的m[ i-1 ][ j-weight[ i ] ]指的就是考虑了i-1件物品，背包容量为j-w[i]时的最大价值，也是相当于为第i件物品腾出了w[i]的空间。
如果不拿，m[ i ][ j ] = m[ i-1 ][ j ] , 同（1）
究竟是拿还是不拿，自然是比较这两种情况那种价值最大。

2.状态转换方程

if(j>=w[i])
    m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
else
    m[i][j]=m[i-1][j];

3.状态转换图

1）如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j<w(1)，故V(1,1)=V(1-1,1)=0；

2. 又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故V(1,2)=max｛ V(1-1,2)，V(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
3. 如此下去，填到最后一个，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故V(4,8)=max｛ V(4-1,8)，V(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10；所以填完表如下图：

完整代码:

import java.util.Scanner;
// 1:无需package
// 2: 类名必须Main, 不可修改

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scan = new Scanner(System.in);
        //在此输入您的代码...
        int totalWeight=scan.nextInt();//背包的总容量
        int N=scan.nextInt();//物品的数量
        int W[]=new int[N+1];//物品的容量
        int V[]=new int[N+1];//物品的价值
        for(int i=0;i<N;i++){
          W[i]=scan.nextInt();
          V[i]=scan.nextInt();
        }
        scan.close();
        int[][] dp=new int[N+1][totalWeight+1];
        for(int i=1;i<=N;i++){
          for(int j=0;j<=totalWeight;j++){
            if(W[i]>j){
              dp[i][j]=dp[i-1][j];//放不进
            }else{
            dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-W[i]]+V[i]);//能放进去的话比较放与不放,选择最优解
            }
          }
         
        }
         System.out.println(dp[N][totalWeight]);

        
    }
}