依旧是dp，比较有难度

P1004 [NOIP 2000 提高组] 方格取数

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题目背景

NOIP 2000 提高组 T4

题目描述

设有 N×N 的方格图 (N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 0。如下图所示（见样例）:

某人从图的左上角的 A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 B 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 0）。
此人从 A 点到 B 点共走两次，试找出 2 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数 N（表示 N×N 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 0 表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示 2 条路径上取得的最大的和。

输入输出样例

输入 #1复制运行

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

输出 #1复制运行

67

说明/提示

数据范围：1≤N≤9。

思路

简单说下思路，因为要考虑两条线路，所以应该同时处理两条线路而不能一条一条处理，这样可能无法求出最优解。

依旧用的是递推的方法，写出动态转移方程对我这个蒟蒻来说比较有难度，通过梳理可以知道每次两个点共有四种移动情况。

1.a向右，b向右

2.a向右，b向下

3.a向下，b向右

4.a向下，b向下

所以每次要找出四种移动后能得到的最大值来累加。

故建立四维数组dp[x1][y1][x2][y2]来存储到达该位置走过的路径方格内数字的最大值。;

x1,y1代表a坐标，x2y2代表b坐标

为了方便计算，我建立了四维数组current_value

这个数组存储了任意两个点加起来的值，当然也想到了两个点相同的情况。

所以状态更新方程就有了

dp[x1][y1][x2][y2] = max_value + current_value[x1][y1][x2][y2];

最后代码附上（本人为算法蒟蒻，所以代码思路简单，但是冗余度较高）

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 9; // 最大方格大小
int grid[MAXN][MAXN]; // 方格数组
int dp[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN]; // 四维动态规划数组
int current_value[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN]; // 用于存储当前格子的值
int main() {
    int N;
    cin >> N;

    while (true) {
        int x, y, value;
        cin >> x >> y >> value;
        if (x == 0 && y == 0 && value == 0) break; // 输入结束标志
        grid[x - 1][y - 1] = value; // 转换为0-index
    }

    // 初始化 current_value 数组
    for (int x1 = 0; x1 < N; ++x1) {
        for (int y1 = 0; y1 < N; ++y1) {
            for (int x2 = 0; x2 < N; ++x2) {
                for (int y2 = 0; y2 < N; ++y2) {
                    if (x1 == x2 && y1 == y2) {
                        current_value[x1][y1][x2][y2] = grid[x1][y1]; // 两条路径在同一格子，只取一次值
                    } else {
                        current_value[x1][y1][x2][y2] = grid[x1][y1] + grid[x2][y2]; // 两条路径在不同格子，分别取值
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 动态规划填表
    for (int x1 = 0; x1 < N; ++x1) {
        for (int y1 = 0; y1 < N; ++y1) {
            for (int x2 = 0; x2 < N; ++x2) {
                for (int y2 = 0; y2 < N; ++y2) {
                    if (x1 == 0 && y1 == 0 && x2 == 0 && y2 == 0) {
                        dp[x1][y1][x2][y2] = grid[0][0];
                        continue;
                    }

                    int max_value = 0;
                    if (x1 > 0 && x2 > 0) max_value = max(max_value, dp[x1 - 1][y1][x2 - 1][y2]);
                    if (x1 > 0 && y2 > 0) max_value = max(max_value, dp[x1 - 1][y1][x2][y2 - 1]);
                    if (y1 > 0 && x2 > 0) max_value = max(max_value, dp[x1][y1 - 1][x2 - 1][y2]);
                    if (y1 > 0 && y2 > 0) max_value = max(max_value, dp[x1][y1 - 1][x2][y2 - 1]);

                    // 更新当前状态
                    dp[x1][y1][x2][y2] = max_value + current_value[x1][y1][x2][y2];
                }
            }
        }
    }
    cout << dp[N - 1][N - 1][N - 1][N - 1] << endl;

    return 0;
}