辗转相除法求最大公因数

1.数学原理

下面我会用（a,b) 来表示a和b的最大公因数

a ➗ b = q ....r    -----------------------(1)

定理：（a,b）= （b,r）

只需要证明上面定理成立，就能证明辗转相除成立。

上面（1）公式还能化成

a = bq + r --------------------------------(2)

r = a - bq ---------------------------------(3)

假设 (a,b) = c   --------------------------(4)

a = mc  , b = nc  (m,n是假设的未知数）

由（3）式得：

r = a - bq  = mc - ncq = (m-nq)c-------(5)

假设（b,r）= d  ---------------------------（6）

b = xd  ,  r = yd (x,y 是假设的未知数）

由（2）式得：

a = bq + r = xdq  + yd = (xq+y)d--------(7)

引理：（a1,a2,a3,.......,an)  = ( (a1,a2),a3,a4,.........an)

所以：  (a,b,r) = ( (a,b),r)

由（4）（5）得：

(a,b,r) = ( (a,b), r ) = ( c, r ) = ( c , (m-nq)c ) =  c

由（6）（7）得：

(a,b,r) = ( (b,r), a ) = ( d, a) = ( d , (xq+y)d ) =  d

因此 c = d，即（a，b) = (b , r）定理成立。

a ➗ b = q .......   r    

定理：（a , b）= （b , r）

假设求 6和8的最大公因数

8 ➗ 6 = 1 ........  2

6 ➗ 2 = 3 ........  0

因为0除以任何非零整数都为0，所以0和任何非零整数的最大公因数是非零整数。

当余数为 0 时，被除数 2 就是 0和2的最大公因数，也就是 6 和 8 的最大公因数。

(根据                                       a ➗ b = q .......   r       

                                               （a , b）= （b , r）                                         得来）

2.代码实现

#include <stdio.h>
int main()
{
	int a = 0;
	int b = 0;
	int r = 1;
	scanf("%d %d", &a,&b);
	while (1)
	{
		r = a % b;
		if (r == 0)
		{
			printf("%d\n", b);
			break;
		}
		a = b;
		b = r;
	}
	return 0;
}

以上是我自己写的代码（仅供参考）。