INT201 Decision,Computation and Language

Lecture1

第一部分：计算理论概述

1.1 计算理论的目的

• 目标：开发与现实世界计算机相关的正式数学模型，用以解释计算的能力与局限性。
• 历史背景：
  • 1930年代，艾伦·图灵(Alan Turing)研究了一种抽象机器，即图灵机（Turing Machine），用以破解由Enigma生成的代码。
  • 1940年代和1950年代，出现了较为简单的机器模型，如有限自动机（Finite Automata）。
  • 1950年代末，乔姆斯基（Noam Chomsky）开始研究形式文法（Formal Grammar）。
  • 1969年，斯蒂芬·库克（Stephen Cook）定义了“难解问题”（NP-hard）。

1.2 计算的定义与问题

• 计算：计算是指可以通过数学公式定义的算法来解决问题。
• 核心问题：计算机能解决的是什么类型的问题？哪些问题是不可解的？
• 计算模型：
  • 有限自动机：用于处理文本、编译器和硬件设计。
  • 上下文无关文法：用于定义编程语言，涉及人工智能的领域。
  • 图灵机：作为“真实”计算机的抽象模型，像个人电脑一样工作。

1.3 课程的重要性

• 本课程探讨计算机的基本能力与局限性，是计算机科学的核心内容。
• 理论方面：与编程语言设计、编译器、字符串搜索、模式匹配、计算机安全、人工智能等领域息息相关。
• 实践方面：该理论简化了复杂的计算机模型，使其成为简单的数学模型，帮助学生更好地理解计算机。
• 通过该课程可以提升问题解决能力，包括如何思考、证明、论证、解决问题、表达以及抽象。

1.4 符号表示法

• 语言符号表示法：形式语言用于精确定义语言、构建编译器、检查字符串是否属于特定语言，以及比较不同语言的描述是否一致。
• 分析工具：主要包括分析自然语言和编程语言的工具，帮助识别有效的句子或程序。

1.5 形式语言与文法

• 语言：由符号的集合和操作规则构成，是表达想法、事实和概念的系统。
  • 字母表（Alphabet）：有限、非空的符号集。
  • 字符串（String）：符号的有限序列。
  • 语言（Language）：由字母表构成的符号串的集合，遵循特定的语法规则。

示例

2.2 字符串操作

2.3 闭包运算

2.4 文法

2.5 文法的应用

2.6 语法树（Parse Tree）

示例

 3.2 自动机的类型

例子：

2. 非确定性有限自动机（Nondeterministic Finite Automaton, NFA）示例

假设有一个 NFA 来识别包含子串 ab 的字符串，字母表为 {a, b}。NFA 允许从一个状态有多种状态转换，并且可以从某些状态没有输入符号（即空移动）。

例子：

3. 图灵机（Turing Machine, TM）示例

假设有一个简单的图灵机，它执行两个二进制数字的加法（例如，输入 101 + 011）。

工作过程：

例子：

3.3 自动机的组成部分

3.4 自动机的工作原理

3.5 图灵机的特点

3.6 自动机的应用

3.7 自动机模型之间的关系

示例

4.2 关系与函数（Relation and Function）

4.3 图（Graph）

4.4 证明技巧（Proof Techniques）

示例

• 字母表：∑ = {a, b}
• 字符串

  第二部分：形式语言与文法

  2.1 形式语言的定义

• 形式语言：由符号构成的字符串集合，按照特定的语法规则生成。形式语言广泛用于计算机科学、语言学和数学领域，来定义和分析语言的结构。

• 字母表（Alphabet）：有限的符号集合，通常表示为 ∑。

  • 例子：∑ = {a, b}，则 abab, aaaabbba 是 ∑ 上的字符串。

• 字符串（String）：由字母表中的符号组成的有限序列。

  • 空字符串：没有任何符号的字符串，记作 ϵ。
  • |ϵ| = 0
  • ϵw = wϵ = w 
  • |𝑤 1 𝑤 2|  = | 𝑤 1|  + | 𝑤2|
  • w = 𝑎 1 𝑎 2 … 𝑎 𝑛

    w 𝑅 = 𝑎 𝑛 … 𝑎 2 𝑎 1(reverse)

    A palindrome is a string w satisfying w = wR.

• 语言的表示方法：

  • 语言 L 是字母表 ∑ 上字符串的集合。形式语言就是这些集合的子集。

• 串联（Concatenation）：将两个字符串合并为一个字符串。

  • 例子：若 w = ab, v = cd，则 wv = abcd。

• 逆序（Reverse）：字符串符号顺序反转。

  • 例子：w = abcd，w⁻¹ = dcba。

• 子串（Substr