按位异或交换两个变量的原理

 

按位异或（XOR）交换两个变量的值是一种巧妙的方法，它利用了异或运算的几个关键性质。以下是详细的运算性质和步骤解释。

一、按位异或运算的性质

按位异或运算（^）是一种位运算，它对两个操作数的每一位进行异或操作。异或运算的规则是：如果两个位相同，则结果为0；如果两个位不同，则结果为1。以下是按位异或运算的几个关键性质：

1. 交换律：

   a⊕b=b⊕a

   两个数进行异或运算时，交换它们的顺序不会影响结果。

2. 结合律：

   (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c)

   多个数进行异或运算时，运算的顺序不会影响结果。

3. 自异或为零：

   a⊕a=0

   任何数与自身进行异或运算的结果为0。

4. 零异或为自身：

   a⊕0=a

   任何数与0进行异或运算的结果仍然是该数本身。

5. 互逆性：

   a⊕b⊕a=b

   如果一个数 a 与另一个数 b 进行异或运算后再与 a 进行异或运算，结果是 b。

二、按位异或交换两个变量的步骤

假设我们有两个变量 a 和 b，我们希望交换它们的值。以下是详细的步骤：

初始状态：

• a 的值为 A

• b 的值为 B

第一步：计算 a=a⊕b

• 此时，a 的值变为 A⊕B

• b 的值仍然是 B

第二步：计算 b=a⊕b

• 此时，a 的值是 A⊕B（从第一步的结果）

• b 的值是 B

• 因此，b=(A⊕B)⊕B

• 根据异或的性质 a⊕a=0 和 a⊕0=a，可以简化为：

  b=A⊕(B⊕B)=A⊕0=A

• 此时，b 的值变为原来的 A

第三步：计算 a=a⊕b

• 此时，a 的值是 A⊕B（从第一步的结果）

• b 的值是 A（从第二步的结果）

• 因此，a=(A⊕B)⊕A

• 同样根据异或的性质，可以简化为：

  a=(A⊕A)⊕B=0⊕B=B

• 此时，a 的值变为原来的 B

最终结果：

• a 的值为 B

• b 的值为 A

三、详细例子

假设 a=5（二进制为 0101）和 b=3（二进制为 0011），我们来逐步计算：

初始状态：

• a=0101（十进制为 5）

• b=0011（十进制为 3）

第一步：计算 a=a⊕b

a=0101⊕0011=0110

此时，a=0110（十进制为 6），b=0011（十进制为 3）

第二步：计算 b=a⊕b

b=0110⊕0011=0101

此时，a=0110（十进制为 6），b=0101（十进制为 5）

第三步：计算 a=a⊕b

a=0110⊕0101=0011

此时，a=0011（十进制为 3），b=0101（十进制为 5）

最终结果：

• a=3

• b=5

四、代码实现（C++版）

#include <iostream>

void xor_swap(int &a, int &b) {
    a = a ^ b;  // 第一步：a = a ^ b
    b = a ^ b;  // 第二步：b = a ^ b
    a = a ^ b;  // 第三步：a = a ^ b
}

int main() {
    int a = 5;
    int b = 3;

    std::cout << "Before swap: a = " << a << ", b = " << b << std::endl;

    xor_swap(a, b);

    std::cout << "After swap: a = " << a << ", b = " << b << std::endl;

    return 0;
}

输出 

Before swap: a = 5, b = 3   
After swap: a = 3, b = 5

五、总结

通过按位异或运算的性质，我们可以在不使用临时变量的情况下交换两个变量的值。这种方法利用了异或运算的交换律、结合律、自异或为零和零异或为自身的性质，通过三次异或操作实现了变量值的交换。