4.1 代码随想录第三十二天打卡

准备:完全背包理论基础-二维DP数组

1.完全背包就是同一物品可以往里多次装

2.这里先遍历背包 或物品都可以

3.dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品，每个物品可以取无限次，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

518.零钱兑换II

(1)题目描述:

(2)解题思路:

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1; // 只有一种方式达到0
        for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包
                if (dp[j] < INT_MAX - dp[j - coins[i]]) { //防止相加数据超int
                    dp[j] += dp[j - coins[i]];
                }
            }
        }
        return dp[amount]; // 返回组合数
    }
};

(3)总结:

1.状态表示：
dp[i][j] 表示：从前 i 个物品中挑选，总体积不超过 j ，所有的选法中，能挑选出来的最⼤价值。（同01背包问题）
2. 状态转移⽅程：
3. 初始化：
我们多加⼀⾏，⽅便我们的初始化，此时仅需将第⼀⾏初始化为 0 即可。因为什么也不选，也能满⾜体积不⼩于 j 的情况，此时的价值为 0 。
4. 填表顺序：
根据状态转移⽅程，我们仅需从上往下填表即可。
 

377. 组合总和 Ⅳ

(1)题目描述:

(2)解题思路:

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

(3)总结:

1.和上一题基本一样，只是在遍历顺序上不同（本题不同的排列顺序也算一种情况）

2.强调顺序时一定是先遍历背包再遍历物品

70. 爬楼梯（进阶版）

(1)题目描述:

(2)解题思路:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n, m;
    while (cin >> n >> m) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { // 遍历物品
                if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
            }
        }
        cout << dp[n] << endl;
    }
}

(3)总结:

1.确定dp数组以及下标的含义
dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2.确定递推公式
求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

本题呢，dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]

那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]

3.dp数组如何初始化
既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。

下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果

4.确定遍历顺序
这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！

所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。

每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

5.举例来推导dp数组