洛谷 P3214 [HNOI2011] 卡农 题解

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[HNOI2011] 卡农 - 洛谷

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题解

不难发现其实题目意思就是让我们从 $1\sim n$ 的集合 $S$ 中取出 $m$ 个非空子集的方案数, 同时要满足三个限制:

1. 每个方案必须本质不同
2. 不能选择相同的集合
3. $1\sim n$ 的每个数出现次数必须是偶数

第一个限制是好解决的, 我们只需要在求出所有的有序方案数之后除以 $m!$ 即可, 那么现在的问题就是如何找出满足后两个限制的方案数.

现在我们考虑一个一个集合的加入, 对于第 $i$ 个集合, 我们可以发现, 如果前 $i-1$ 个集合已经确定好了, 那么第 $i$ 个集合是很好确定的. 由于我们要满足第三个限制, 所以我们可以把前 $i-1$ 个集合异或起来, 得到一个新的集合, 只要我们把这个集合插入, 是一定可以满足第三个限制的. 此时的方案数就是前 $i-1$ 个集合可能的方案数, 即 $A_{2^n-1}^{i-1}$. 因为我们不关心前 $i-1$ 个集合是什么, 是否满足第三个限制, 因为只要插入了第 $i$ 个集合, 就一定是合法的.

但是这样并不是正确的, 因为假如我们选完前 $i-1$ 个集合之后, 它们已经合法了, 那么这时候我们可能会新加入一个空集, 这样是不合法的. 我们记 $f_i$ 为选了前 $i$ 个集合合法的方案数, 那么我们需要减去 $f_{i-1}$. 这也引发了我们进一步的思考: 假如前 $i-1$ 个集合中, 有 $i-2$ 个集合恰好合法的话, 那么第 $i$ 个集合就会跟剩下的那个集合重复, 违背了第二个限制, 这也是不合法的. 这个时候我们需要减去 $f_{i-2}\times (2^n-1-(i-2))\times (i-1)$, 其中 $2^n-1-(i-2)$ 是第 $i-1$ 个集合可选的方案数, $i-1$ 是剩下的集合可能存在的位置.

这样我们就把这道题解决了.

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代码

#include <bits/stdc++.h>

using i64 = long long;

constexpr int P = 1e8 + 7;

i64 power(i64 a, i64 b)
{
	i64 res = 1;
	for( ; b; b >>= 1, a = a * a % P)
		if(b & 1) res = res * a % P;

	return res;
}

int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);

	int n, m; std::cin >> n >> m;

	std::vector<i64> fac(m + 1, 1);
	i64 pw = power(2, n) - 1;
	if(pw < 0) pw += P;
	for(int i = 1; i <= m; i++) fac[i] = fac[i - 1] * (pw - i + 1) % P;

	std::vector<i64> f(m + 1);
	f[0] = 1, f[1] = 0;
	for(int i = 2; i <= m; i++)
	{
		f[i] = fac[i - 1];
		f[i] -= f[i - 1];
		f[i] -= (pw - i + 2) * f[i - 2] % P * (i - 1) % P;
		f[i] %= P;
		if(f[i] < 0) f[i] += P;
	}

	std::vector<i64> inv(m + 1);
	inv[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= m; i++) inv[i] = (P - P / i) * inv[P % i] % P;
	for(int i = 2; i <= m; i++) inv[i] = inv[i] * inv[i - 1] % P;

	std::cout << f[m] * inv[m] % P << "\n";

	return 0;
}