1.背包问题

之前发过算法类的文章，但很多都没有解释清楚，本专栏将详细解释算法的原理，让大家有明确思路算法题是怎么做出来的,为什么要这样写代码...（不适合该算法原理一点不懂的人看）

1. 01背包（这里的空间优化可以理解为滚动数组）

你有⼀个背包，最多能容纳的体积是 V 。

现在有 n 个物品，第 i 个物品的体积为 v i ,价值为 w i 。

1. 求这个背包⾄多能装多⼤价值的物品？

2. 若背包恰好装满，求⾄多能装多⼤价值的物品？

 

2. 完全背包

你有⼀个背包，最多能容纳的体积是 V。

现在有 n 种物品，每种物品有任意多个，第 i 种物品的体积为 v i ,价值为 w i 。

1. 求这个背包⾄多能装多⼤价值的物品？

2. 若背包恰好装满，求⾄多能装多⼤价值的物品？

1. 状态表⽰：
dp[i][j]表⽰：从前i 个物品中挑选，总体积不超过j ，所有的选法中，能挑选出来的最⼤价
值。（这⾥是和01背包一样的）
 
那我们的最终结果就是 dp[n][V ] 

2.状态转移⽅程为：
dp[i][j] = max(dp[i − 1][j], dp[i − 1][j − v[i]] + w[i], dp[i − 1][j − 2 × v[i]] + 2 × w[i]...

优化：dp[i][j − v[i]] = ...我们发现，把dp[i][j − v[i]] 加上w[i] 正好和dp[i][j] 中除了第⼀项以外的全部⼀致


所以可以修改状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i − 1][j], dp[i][j − v[i]] + w[i])


3.初始化：
我们多加⼀⾏，⽅便我们的初始化，此时仅需将第⼀⾏初始化为0 即可。因为什么也不选，也能
满⾜体积不⼩于j 的情况，此时的价值为0 。

3. 多重背包

有n 种物品，第i 种物品有x.i个，每⼀个物品重量为w.i ，价值为v.i ，现有⼀个承重能⼒为T的背包，在不超过承重能⼒的情况下，背包种最多能装多少价值的物品。

为什么多重背包不能像完全背包用同样的方式进行优化？
1.因为完全背包的优化是基于物品可以无限次放入的特性，
而多重背包中物品的放入次数受到数量限制，还需要考虑每种物品的剩余数量，
这使得其状态转移更为复杂，不能直接套用完全背包的优化方式。

 

*空间优化：转化成01背包问题

注意：空间优化不能求方案数，会有重复计算，如：9=1+2+4+2，按01背包求时会求两个1 2，但其实他们都是同一个物品。

优化⽅式：⽤⼆进制将 x[i] 个物品分组。

1.连续的⼆进制数有⼀个性质，就是 2^0∼2^k
能够表⽰区间 [1, 2^(k+1) - 1] ⾥⾯所有的整数。

2.根据这样⼀个性质，我们就可以把x[i]拆成⼀些⼆进制数再加上多出来的数，
这样的⼀组数就可以表⽰[1,x[i]]内所有的整数，问题就变成了01背包。

3.⽐如 x[i] = 9，w[i] = 2, v[i] = 3 ：
• 9 = 1 + 2 + 4 + 2 ；
• 分成 4 组，每组的重量和价值分别为 (2, 3)、(4, 6)、(8, 12)、(4, 6) 。