*图论基础(5)

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1.图的基本概念

不写了，网上有好多资料ovo

2.图的存储和遍历

2.1存储：

3.最小生成树

 

 3.2Kruskal算法

4.拓扑排序

拓扑排序的⽬标是将有向⽆环图中的所有结点排序，使得排在前⾯的结点不能依赖于排在后⾯的结

点。在课程问题中，相当于就是找到⼀个排课的合法顺序。具体流程可借助队列进⾏：

1. 将图中所有⼊度为 0 的点，加⼊到队列中；
2. 取出队头元素，删除与该点相连的边。如果删除之后的后继结点的⼊度变为 0，加⼊到队列中；
3. 重复 2 操作，直到图中没有点或者没有⼊度为 0 的点为⽌。

拓扑排序判断是否有环：

跑⼀遍拓扑排序算法，如果有结点没有进队，那么就表明有环。

【题⽬描述】

有个⼈的家族很⼤，辈分关系很混乱，请你帮整理⼀下这种关系。给出每个⼈的后代的信息。输出⼀个序列，使得每个⼈的后辈都⽐那个⼈后列出。

【输⼊描述】

第 1⾏⼀个整数N ，表⽰家族的⼈数。接下来 N⾏，第 i⾏描述第i 个⼈的后代编号ai,j ，表⽰ai,j 是i 的后代。每⾏最后是0 表⽰描述完毕。

【输出描述】

输出⼀个序列，使得每个⼈的后辈都⽐那个⼈后列出。如果有多种不同的序列，输出任意⼀种即可。

【题⽬描述】

设 G 为有 n 个顶点的带权有向⽆环图， G 中各顶点的编号为 1 到 n ，请设计算法，计算图 G 中 1, n 间 的最⻓路径。

解法⼀：转换为最短路。
问题转化：当所有边的权值改成相反数。
那么最⻓路问题就变成了最短路问题，找出最短路之后，输出相反数即可。
注意：这种⽅法是万能的，但是如果数据范围过⼤时，时间复杂度接受不了

解法⼆：拓扑排序 + 动态规划。
在本题中有个重要的条件，对于任意⼀条边 u->v，u 都是⼩于 v 的。因此，1 绝对是⼊度为 0 的点，n
绝对是出度为 0 的点。并且图中没有环形结构，是⼀个拓扑图。在拓扑图中，可以看做 1 为起点，n 为
终点。那么就可以利⽤拓扑排序的过程，更新出最⻓路。
细节问题：有可能存在别的⼊度为 0 的点，需要提前处理掉。

动态规划的逻辑：
1. 状态表⽰： f[i] 表⽰从 1 ⾛到 i 位置的最⻓路。
2. 状态转移⽅程： f[i] = max(f[prev] + w) ，其中 prev 为 i 结点的前驱结点，w 为 i->prev
的权值。

5.单源最短路

• 单源最短路，即图中⼀个顶点到其它各顶点的最短路径。
• 多源最短路，即图中每对顶点间的最短路径

 

5.2 bellman-ford 算法（很暴力）

是⼀种基于松弛操作的最短路算法，可以求出有负权的图的最短路，并可以对最短路不存在的情况进⾏判断。

算法核⼼思想：不断尝试对图上每⼀条边进⾏松弛，直到所有的点都⽆法松弛为⽌。

6.多元最短路