最长回文子串问题-Manacher算法【建议收藏】

上面这种思路确实能够解题，但是还有一个很重要的点，那就是假设给定的字符串是偶数个字符，那么这种方式就会错过一些回文子串的匹配，因为此时对于偶数个字符来说，对称点是在中间两个字符之间的，如下图：

所以以每个字符为中心点，向两边扩展，还是存在着一定的问题。如何解决呢？

那就是将原字符串进行处理，加工为一个含有特殊字符的字符串，比如原字符串为：123321,；加工后的字符串为：#1#2#3#3#2#1#；

也就是说，在每个字符的中间，加入其它字符，这样就能使一个偶数个字符的字符串，转换为奇数个字符的字符串。这样就可以遍历，向两边扩展了。

问题：我们所加入的字符，必须是原字符中没有的字符吗？

这个问题留作大家思考。

public static int getLengthOfSubString(String str) {

if (str == null) {

return 0;

}

char[] generateStr = generateString(str);

int length = generateStr.length;

int max = 0; //答案

for (int i = 0; i < length; i++) {

int tmp = 1; //每个字符都能以自己本身的字符作为回文子串。所以初始值是1

int radius = 1; //回文半径，也就是以i位置为中心，半径radius的范围内

while (i - radius >= 0 && i + radius < length) { //左右两边都在数组的范围内，循环继续

if (generateStr[i - radius] == generateStr[i + radius]) {

tmp += 2; //左右两个字符相等的情况

radius++; //回文半径加1

} else {

break;

}

}

max = Math.max(max, tmp); //判断当前的tmp是否是最长的回文子串

}

return max / 2; //因为我们比较的处理后的字符串，计算出的回文串要除以2.才是最终的答案

}

public static char[] generateString(String str) {

char[] res = new char[str.length() * 2 + 1]; //原2倍长度，再加1

int index = 0;

for (int i = 0; i < res.length; i++) {

//奇数位置放#，偶数位置放原字符

res[i] = (i % 2) == 1? str.charAt(index++) : ‘#’;

}

return res;

}

以上代码就是BF算法，暴力解。每个字符都需要遍历一次，而每次字符都需要向外扩展，最坏情况下，就是向外扩展一直到整个字符串结束。比如：1111111； 这种情况就是每个字符向外扩展，都会扩展很长，甚至是扩展至字符串结束，所以这个BF算法的时间复杂度是O(N2) 。

二、Manacher算法

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Manacher算法也是在BF算法的基础之上，做了优化。所以大家看Manacher算法之前，先理解BF暴力解的流程。

Manacher算法引入了三个概念：

• 当前回文子串的中心点 ：C

• 当前已经遍历到最长回文子串的最右边界下标：R

• 回文半径数组；（用于存储已经扩展完成的回文子串的半径）

通过上面三个变量，我们就能解决这一难题了。话不多说，讲述推导过程。整体分为两个大步骤。C和R的初始值都是-1，也就是数组最左边的外面。

1. 当i位置（当前遍历的字符）不在R（最右边界）内时：

此时这种情况，我们只能向左右两边进行扩展。这个没办法。重要的是第2种情况。

2. 当i位置（当前遍历的字符）在R（最右边界）内时：

以7为中心，向两边扩展出来的回文子串，就是橙色括号圈起来的范围。此时的i就是在R边界的里面。

当我们以中心点为对称点，做出i的对称点，如下图：

做出来的对称点，我们就能得到这个点的下标。然后去回文半径数组里查这个下标对应的回文半径，就能得到关于这个对称点的回文子串。例如上图中黑色虚线框中的值。

对于黑色虚线框的值，我们又可以分为三种小情况：

• 黑色虚线框与以C中心点扩展的回文子串压线：

压线的情况，就是上图中这种情况，黑色虚线框的左边界与橙色线重合。 根据对称性，因为黑色虚线框的值是回文子串，那么右边以i为中心，也能扩展出回文子串。如下图所示：

所以我们可以直接通过对称点i得到已经完成匹配的回文子串。然后我们可以直接从i位置的已经计算好的回文子串外开始扩展。比如：左边值7和右边值1做比较，如果相等，当前回文半径加1，然后继续比较下一对字符。

• 黑色虚线框的左边界，超过了以C中心点扩展的回文子串的左边界（超出）：如下图：

对称点i，以它为中心对应的回文子串正如左边的黑色虚线框所示：2,3,4,3,2。此时虚线框已经超出了橙色线的范围，又因为橙色线范围内是一个回文子串。所以我们可以推导出当前i位置，至少有回文子串，就是（R-i）为半径的范围。即上图右边黑色虚线框内。

此时我们只需要在此基础之上，比较R右边的值5 和 黑色虚线框左边的2，看是否相等。若相等，则再次比较下一对字符。依次类推。

• 黑色虚线框整体，都是在以C中心点扩展的回文子串的左半部分（即没压线，也没超出）：如下图：

此时以i位置为中心，向左右两边扩展，就可以从黑色虚线框两边开始比较字符了。

上面三种情况，都是由对称点i得到关于该点的回文子串；再对称到右边i位置，以此为基础，继续向外扩展比较字符。那可能有同学就会疑惑，为什么就能从左边对称点i，就能推导出右边i位置的回文子串呢？ 证明如下：

上述所有，就是Manacher的推导过程，就是通过对称，拿到C点左边的对称点。就能从回文半径数组中拿到该位置的回文子串。因此就能对应到C点右边的回文子串，在此基础之上进行字符比较，节省了一些已经比较过的字符的时间。

最后

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上述所有，就是Manacher的推导过程，就是通过对称，拿到C点左边的对称点。就能从回文半径数组中拿到该位置的回文子串。因此就能对应到C点右边的回文子串，在此基础之上进行字符比较，节省了一些已经比较过的字符的时间。

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