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(
x
∗
)
≤
f
(
x
)
f\left(x^{*}\right) \leq f(x)
f(x∗)≤f(x) .可以想象成给我一个凸函数，我要去找到最低点。当然凸优化是一个很大很厉害的领域，在这里，我们只需要知晓这个问题是这么一回事。然后，这回事要怎么样求解，就好，有兴趣的朋友可以参考凸优化的概念或者Stephen Boyd & Lieven Vandenberghe 的《Convex Optimization》.
- 为啥叫二次规划问题呢？
据了解，
- 目标函数和约束条件都为变量的线性函数，叫做-----线性规划问题。
- 目标函数为变量的二次函数和约束条件为变量的线性函数，叫做-----二次规划问题。
- 目标函数和约束条件都为非线性函数，叫做-----非线性规划问题。
由于这个问题的特殊结构，还可以通过拉格朗日对偶性（Lagrange Duality）变换到对偶变量 (dual variable) 的优化问题，即通过求解与原问题等价的对偶问题（dual problem）得到原始问题的最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题。
那什么是拉格朗日对偶性呢？简单来讲，通过给每一个约束条件加上一个拉格朗日乘子
α
\alpha
α,（Lagrange multiplier），定义拉格朗日函数（通过拉格朗日函数将约束条件融合到目标函数里去，从而只用一个函数表达式便能清楚的表达出我们的问题）
L
(
w
,
b
,
α
)
=
1
2
∥
w
∥
2
−
∑
i
=
1
n
α
i
(
y
i
(
w
T
x
i
b
)
−
1
)
\mathcal{L}(w, b, \alpha)=\frac{1}{2}|w|{2}-\sum_{i=1}{n} \alpha_{i}\left(y_{i}\left(w^{T} x_{i}+b\right)-1\right)
L(w,b,α)=21∥w∥2−i=1∑nαi(yi(wTxi+b)−1)
然后令：
θ
(
w
)
=
max
α
i
≥
0
L
(
w
,
b
,
α
)
\theta(w)=\max _{\alpha_{i} \geq 0} \mathcal{L}(w, b, \alpha)
θ(w)=αi≥0maxL(w,b,α)
容易验证，当某个约束条件不满足时，例如
y
i
(
w
T
x
i
b
)
<
1
y_{i}\left(w^{T} x_{i}+b\right)<1
yi(wTxi+b)<1，那么显然有
θ
(
w
)
=
∞
\theta(w)=\infty
θ(w)=∞（只要令
α
i
=
∞
\alpha_{i}=\infty
αi=∞即可）。而当所有约束条件都满足时，则最优值为
θ
(
w
)
=
1
2
∥
w
∥
2
\theta(w)=\frac{1}{2}|w|^{2}
θ(w)=21∥w∥2，亦即最初要最小化的量。
因此，在要求约束条件得到满足的情况下最小化
1
2
∥
w
∥
2
\frac{1}{2}|w|^{2}
21∥w∥2，实际上等价于直接最小化
θ
(
w
)
\theta(w)
θ(w)（当然，这里也有约束条件，就是
α
i
\alpha_{i}
αi ≥0,i=1,…,n） ，因为如果约束条件没有得到满足，
θ
(
w
)
\theta(w)
θ(w)会等于无穷大，自然不会是我们所要求的最小值。
具体写出来，目标函数变成了：
min
w
,
b
θ
(
w
)
=
min
w
,
b
max
α
i
≥
0
L
(
w
,
b
,
α
)
=
p
∗
\min _{w, b} \theta(w)=\min _{w, b} \max _{\alpha_{i} \geq 0} \mathcal{L}(w, b, \alpha)=p^{*}
w,bminθ(w)=w,bminαi≥0maxL(w,b,α)=p∗
这里用
p
∗
p^{*}
p∗表示这个问题的最优值，且和最初的问题是等价的。如果直接求解，那么一上来便得面对w和b两个参数，而
α
i
\alpha_{i}
αi又是不等式约束，这个求解过程不好做。不妨把最小和最大的位置交换一下，变成：
max
α
i
≥
0
min
w
,
b
L
(
w
,
b
,
α
)
=
d
∗
\max _{\alpha_{i} \geq 0} \min _{w, b} \mathcal{L}(w, b, \alpha)=d^{*}
αi≥0maxw,bminL(w,b,α)=d∗
交换以后的新问题是原始问题的对偶问题，这个新问题的最优值用
d
∗
d^{*}
d∗来表示。而且有
d
∗
d^{*}
d∗≤
p
∗
p^{*}
p∗，在满足某些条件的情况下，这两者相等，这个时候就可以通过求解对偶问题来间接地求解原始问题。
换言之，之所以从minmax
p
∗
p^{*}
p∗的原始问题，转化为maxmin
d
∗
d^{*}
d∗的对偶问题，一者因为
d
∗
d^{*}
d∗是
p
∗
p^{*}
p∗的近似解，二者，转化为对偶问题后，更容易求解。
下面可以先求L 对w、b的极小，再求L对
α
\alpha
α的极大。
KKT条件
d
∗
d^{*}
d∗≤
p
∗
p^{*}
p∗在满足某些条件的情况下，两者等价，这所谓的“满足某些条件”就是要满足KKT条件。
要让两者等价需满足strong duality （强对偶），而后有学者在强对偶下提出了KKT条件，且KKT条件的成立要满足constraint qualifications，而constraint qualifications之一就是Slater条件。所谓Slater 条件，即指：凸优化问题，如果存在一个点x，使得所有等式约束都成立，并且所有不等式约束都严格成立（即取严格不等号，而非等号），则满足Slater 条件。对于此处，Slater 条件成立，所以
d
∗
d^{*}
d∗≤
p
∗
p^{*}
p∗可以取等号。
一般地，一个最优化数学模型能够表示成下列标准形式：
min
.
f
(
x
)
s.t.
h
j
(
x
)
=
0
,
j
=
1
,
…
,
p
g
k
(
x
)
≤
0
,
k
=
1
,
…
,
q
x
∈
X
⊂
R
n
\begin{array}{l}{\min . f(\mathbf{x})} \ {\text { s.t. } \quad h_{j}(\mathbf{x})=0, j=1, \ldots, p} \ {\qquad g_{k}(\mathbf{x}) \leq 0, k=1, \ldots, q} \ {\mathbf{x} \in \mathbf{X} \subset \mathfrak{R}^{n}}\end{array}
min.f(x) s.t. hj(x)=0,j=1,…,pgk(x)≤0,k=1,…,qx∈X⊂Rn
其中，f(x)是需要最小化的函数，h(x)是等式约束，g(x)是不等式约束，p和q分别为等式约束和不等式约束的数量。
KKT条件的意义：它是一个非线性规划（Nonlinear Programming）问题能有最优化解法的必要和充分条件。
而KKT条件就是指上面最优化数学模型的标准形式中的最小点 x* 必须满足下面的条件：
- h
j
(
x
∗
)
=
0
,
j
=
1
,
…
,
p
,
g
k
(
x
∗
)
≤
0
,
k
=
1
,
…
,
q
h_{j}\left(\mathbf{x}_{*}\right)=0, j=1, \ldots, p, g_{k}\left(\mathbf{x}_{*}\right) \leq 0, k=1, \ldots, q
hj(x∗)=0,j=1,…,p,gk(x∗)≤0,k=1,…,q
2. ∇
f
(
x
∗
)
∑
i
=
1
p
λ
i
∇
h
i
(
x
∗
)
∑
j
=
1
q
μ
k
∇
g
k
(
x
∗
)
=
0
\nabla f\left(x{*}\right)+\sum_{i=1}{p} \lambda_{i} \nabla h_{i}\left(x{*}\right)+\sum_{j=1}{q} \mu_{k} \nabla g_{k}\left(x^{*}\right)=0
∇f(x∗)+∑i=1pλi∇hi(x∗)+∑j=1qμk∇gk(x∗)=0
3. λ
i
≠
0
,
μ
k
≥
0
,
μ
k
g
k
(
x
∗
)
=
0
\lambda_{i} \neq 0, \mu_{k} \geq 0, \mu_{k} g_{k}\left(x^{*}\right)=0
λi̸=0,μk≥0,μkgk(x∗)=0
我们这里的问题是满足 KKT 条件的（首先已经满足Slater条件，再者f和gi也都是可微的，即L对w和b都可导），因此现在我们便转化为求解第二个问题。
也就是说，原始问题通过满足KKT条件，已经转化成了对偶问题。而求解这个对偶学习问题，分为3个步骤：首先要让L(w，b，a) 关于 w 和 b 最小化，然后求对
α
\alpha
α的极大，最后利用SMO算法求解对偶问题中的拉格朗日乘子。
对偶问题求解的3个步骤
- 首先固定
α
\alpha
α，要让 L 关于 w 和 b 最小化，我们分别对w，b求偏导数，即令 ∂L/∂w 和 ∂L/∂b 等于零
∂
L
∂
w
=
0
⇒
w
=
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
x
i
∂
L
∂
b
=
0
⇒
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
=
0
\begin{aligned} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial w} &=0 \Rightarrow w=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i} x_{i} \ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial b} &=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}=0 \end{aligned}
∂w∂L∂b∂L=0⇒w=i=1∑nαiyixi=0⇒i=1∑nαiyi=0
将以上结果代入之前的L：
L
(
w
,
b
,
α
)
=
1
2
∥
w
∥
2
−
∑
i
=
1
n
α
i
(
y
i
(
w
T
x
i
b
)
−
1
)
\mathcal{L}(w, b, \alpha)=\frac{1}{2}|w|{2}-\sum_{i=1}{n} \alpha_{i}\left(y_{i}\left(w^{T} x_{i}+b\right)-1\right)
L(w,b,α)=21∥w∥2−∑i=1nαi(yi(wTxi+b)−1)
得到：
L
(
w
,
b
,
α
)
=
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
α
i
α
j
y
i
y
j
x
i
T
x
j
−
∑
i
,
j
=
1
n
α
i
α
j
y
i
y
j
x
i
T
x
j
−
b
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
∑
i
=
1
n
α
i
=
∑
i
=
1
n
α
i
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
α
i
α
j
y
i
y
j
x
i
T
x
j
\begin{aligned} \mathcal{L}(w, b, \alpha) &=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j}-\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j}-b \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}+\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \ &=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j} \end{aligned}
L(w,b,α)=21i,j=1∑nαiαjyiyjxiTxj−i,j=1∑nαiαjyiyjxiTxj−bi=1∑nαiyi+i=1∑nαi=i=1∑nαi−21i,j=1∑nαiαjyiyjxiTxj
具体推导过程是比较复杂的，如下所示：
最后，得到：
L
(
w
,
b
,
α
)
=
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
α
i
α
j
y
i
y
j
x
i
T
x
j
−
∑
i
,
j
=
1
n
α
i
α
j
y
i
y
j
x
i
T
x
j
−
b
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
∑
i
=
1
n
α
i
=
∑
i
=
1
n
α
i
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
α
i
α
j
y
i
y
j
x
i
T
x
j
\begin{aligned} \mathcal{L}(w, b, \alpha) &=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j}-\sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j}-b \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}+\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} \ &=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j} \end{aligned}
L(w,b,α)=21i,j=1∑nαiαjyiyjxiTxj−i,j=1∑nαiαjyiyjxiTxj−bi=1∑nαiyi+i=1∑nαi=i=1∑nαi−21i,j=1∑nαiαjyiyjxiTxj
“倒数第4步”推导到“倒数第3步”使用了线性代数的转置运算，由于ai和yi都是实数，因此转置后与自身一样。“倒数第3步”推导到“倒数第2步”使用了(a+b+c+…)(a+b+c+…)=aa+ab+ac+ba+bb+bc+…的乘法运算法则。最后一步是上一步的顺序调整。
从上面的最后一个式子，我们可以看出，此时的拉格朗日函数只包含了一个变量，那就是
α
i
\alpha_{i}
αi（求出了
α
i
\alpha_{i}
αi便能求出w，和b，由此可见，则核心问题：分类函数
f
(
x
)
=
w
T
x
b
f(x)=w^{T} x+b
f(x)=wTx+b也就可以轻而易举的求出来了）。
- 求对
α
\alpha
α的极大，即是关于对偶问题的最优化问题。经过上面第一个步骤的求w和b，得到的拉格朗日函数式子已经没有了变量w，b，只有
α
\alpha
α。从上面的式子得到：
max
α
≥
0
∑
i
=
1
m
α
i
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
m
α
i
α
j
y
i
y
j
x
i
T
x
j
s.t.
∑
i
=
1
m
α
i
y
i
.
=
0
α
i
≥
0
,
i
=
1
,
2
,
…
,
m
\begin{array}{l}{\max _{\alpha \geq 0} \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{m} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j}} \ {\text {s.t.} \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} .=0} \ {\alpha_{i} \geq 0, i=1,2, \ldots, m}\end{array}
maxα≥0∑i=1mαi−21∑i,j=1mαiαjyiyjxiTxjs.t.∑i=1mαiyi.=0αi≥0,i=1,2,…,m
这样，求出了
α
i
\alpha_{i}
αi，根据
w
=
∑
i
=
1
m
α
i
y
(
i
)
x
(
i
)
w=\sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y^{(i)} x^{(i)}
w=∑i=1mαiy(i)x(i)，即可求出w，然后通过
b
∗
=
−
max
i
:
y
(
i
)
=
−
1
w
∗
T
x
(
i
)
min
i
:
y
(
i
)
=
1
w
∗
T
x
(
i
)
2
b^{*}=-\frac{\max _{i : y^{(i)}=-1} w^{* T} x^{(i)}+\min _{i : y^{(i)}=1} w^{* T} x^{(i)}}{2}
b∗=−2maxi:y(i)=−1w∗Tx(i)+mini:y(i)=1w∗Tx(i)，即可求出b，最终得出分离超平面和分类决策函数。
3. 在求得L(w, b, a) 关于 w 和 b 最小化，以及对
α
\alpha
α的极大之后，最后一步则可以利用SMO算法求解对偶问题中的拉格朗日乘子
α
\alpha
α
max
α
≥
0
∑
i
=
1
m
α
i
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
m
α
i
α
j
y
i
y
j
x
i
T
x
j
s.t.
∑
i
=
1
m
α
i
y
i
.
=
0
α
i
≥
0
,
i
=
1
,
2
,
…
,
m
\begin{array}{l}{\max _{\alpha \geq 0} \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{m} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j} x_{i}^{T} x_{j}} \ {\text {s.t.} \sum_{i=1}^{m} \alpha_{i} y_{i} .=0} \ {\alpha_{i} \geq 0, i=1,2, \ldots, m}\end{array}
maxα≥0∑i=1mαi−21∑i,j=1mαiαjyiyjxiTxjs.t.∑i=1mαiyi.=0αi≥0,i=1,2,…,m
上述式子要解决的是在参数上
{
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
}
\left{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right}
{α1,α2,…,αn}求最大值W的问题，至于
x
(
i
)
x^{(i)}
x(i)和
y
(
i
)
y^{(i)}
y(i)都是已知数。要了解这个SMO算法是如何推导的，请跳到下文第3.5节、SMO算法。
总结
让我们再来看看上述推导过程中得到的一些有趣的形式。首先就是关于我们的 hyper plane ，对于一个数据点 x 进行分类，实际上是通过把 x 带入到
f
(
x
)
=
w
T
x
b
f(x)=w^{T} x+b
f(x)=wTx+b算出结果然后根据其正负号来进行类别划分的。而前面的推导中我们得到:
w
=
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
x
i
w=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i} x_{i}
w=∑i=1nαiyixi
因此分类函数为：
f
(
x
)
=
(
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
x
i
)
T
x
b
=
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
⟨
x
i
,
x
⟩
b
\begin{aligned} f(x) &=\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i} x_{i}\right)^{T} x+b \ &=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}\left\langle x_{i}, x\right\rangle+ b \end{aligned}
f(x)=(i=1∑nαiyixi)Tx+b=i=1∑nαiyi⟨xi,x⟩+b
这里的形式的有趣之处在于，对于新点 x的预测，只需要计算它与训练数据点的内积即可（表示向量内积），这一点至关重要，是之后使用 Kernel 进行非线性推广的基本前提。此外，所谓 Supporting Vector 也在这里显示出来——事实上，所有非Supporting Vector 所对应的系数
α
\alpha
α都是等于零的，因此对于新点的内积计算实际上只要针对少量的“支持向量”而不是所有的训练数据即可。
为什么非支持向量对应的
α
\alpha
α等于零呢？直观上来理解的话，就是这些“后方”的点——正如我们之前分析过的一样，对超平面是没有影响的，由于分类完全有超平面决定，所以这些无关的点并不会参与分类问题的计算，因而也就不会产生任何影响了。
回忆一下我们通过 Lagrange multiplier得到的目标函数：
注意到如果 xi 是支持向量的话，上式中红颜色的部分是等于 0 的（因为支持向量的 functional margin 等于 1 ），而对于非支持向量来说，functional margin 会大于 1 ，因此红颜色部分是大于零的，而
α
i
\alpha_{i}
αi又是非负的，为了满足最大化，
α
i
\alpha_{i}
αi必须等于 0 。这也就是这些非Supporting Vector 的点的局限性。
至此，我们便得到了一个maximum margin hyper plane classifier，这就是所谓的支持向量机（Support Vector Machine）。当然，到目前为止，我们的 SVM 还比较弱，只能处理线性的情况，不过，在得到了对偶dual 形式之后，通过 Kernel 推广到非线性的情况就变成了一件非常容易的事情了(通过求解对偶问题得到最优解，这就是线性可分条件下支持向量机的对偶算法，这样做的优点在于：一者对偶问题往往更容易求解；二者可以自然的引入核函数，进而推广到非线性分类问题”)。
核函数Kernel
1. 特征空间的隐式映射：核函数
事实上，大部分时候数据并不是线性可分的，这个时候满足这样条件的超平面就根本不存在。在上文中，我们已经了解到了SVM处理线性可分的情况，那对于非线性的数据SVM咋处理呢？对于非线性的情况，SVM 的处理方法是选择一个核函数 κ(⋅,⋅) ，通过将数据映射到高维空间，来解决在原始空间中线性不可分的问题。
具体来说，在线性不可分的情况下，支持向量机首先在低维空间中完成计算，然后通过核函数将输入空间映射到高维特征空间，最终在高维特征空间中构造出最优分离超平面，从而把平面上本身不好分的非线性数据分开。如图所示，一堆数据在二维空间无法划分，从而映射到三维空间里划分：
而在我们遇到核函数之前，如果用原始的方法，那么在用线性学习器学习一个非线性关系，需要选择一个非线性特征集，并且将数据写成新的表达形式，这等价于应用一个固定的非线性映射，将数据映射到特征空间，在特征空间中使用线性学习器，因此，考虑的假设集是这种类型的函数：
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
N
w
i
ϕ
i
(
x
)
b
f(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{N} w_{i} \phi_{i}(\mathbf{x})+b
f(x)=i=1∑Nwiϕi(x)+b
这里ϕ：X->F是从输入空间到某个特征空间的映射，这意味着建立非线性学习器分为两步：
首先使用一个非线性映射将数据变换到一个特征空间F，
然后在特征空间使用线性学习器分类。
而由于对偶形式就是线性学习器的一个重要性质，这意味着假设可以表达为训练点的线性组合，因此决策规则可以用测试点和训练点的内积来表示：
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
′
α
i
y
i
⟨
ϕ
(
x
i
)
⋅
ϕ
(
x
)
⟩
b
f(\mathbf{x})=\sum_{i=1}^{\prime} \alpha_{i} y_{i}\left\langle\phi\left(\mathbf{x}_{i}\right) \cdot \phi(\mathbf{x})\right\rangle+ b
f(x)=i=1∑′αiyi⟨ϕ(xi)⋅ϕ(x)⟩+b
如果有一种方式可以在特征空间中直接计算内积〈φ(xi · φ(x)〉，就像在原始输入点的函数中一样，就有可能将两个步骤融合到一起建立一个非线性的学习器，这样直接计算法的方法称为核函数方法：
核是一个函数K，对所有x，z，满足
K
(
x
,
z
)
=
⟨
ϕ
(
x
)
⋅
ϕ
(
z
)
⟩
K(\mathbf{x}, \mathbf{z})=\langle\phi(\mathbf{x}) \cdot \phi(\mathbf{z})\rangle
K(x,z)=⟨ϕ(x)⋅ϕ(z)⟩，这里φ是从X到内积特征空间F的映射。
2. 核函数：如何处理非线性数据
来看个核函数的例子。如下图所示的两类数据，分别分布为两个圆圈的形状，这样的数据本身就是线性不可分的，此时咱们该如何把这两类数据分开呢(下文将会有一个相应的三维空间图)？
事实上，上图所述的这个数据集，是用两个半径不同的圆圈加上了少量的噪音生成得到的，所以，一个理想的分界应该是一个“圆圈”而不是一条线（超平面）。如果用
X
1
\mathrm{X}_{1}
X1和
X
2
\mathrm{X}_{2}
X2来表示这个二维平面的两个坐标的话，我们知道一条二次曲线（圆圈是二次曲线的一种特殊情况）的方程可以写作这样的形式：
a
1
X
1
a
2
X
1
2
a
3
X
2
a
4
X
2
2
a
5
X
1
X
2
a
6
=
0
a_{1} X_{1}+a_{2} X_{1}^{2}+a_{3} X_{2}+a_{4} X_{2}^{2}+a_{5} X_{1} X_{2}+a_{6}=0
a1X1+a2X12+a3X2+a4X22+a5X1X2+a6=0
注意上面的形式，如果我们构造另外一个五维的空间，其中五个坐标的值分别为
Z
1
=
X
1
,
Z
2
=
X
1
2
,
Z
3
=
X
2
,
Z
4
=
X
2
2
，
Z
5
=
X
1
X
2
Z_{1}=X_{1}, Z_{2}=X_{1}^{2}, Z_{3}=X_{2}, Z_{4}=X_{2}^{2}，Z_{5}=X_{1} X_{2}
Z1=X1,Z2=X12,Z3=X2,Z4=X22，Z5=X1X2，那么显然，上面的方程在新的坐标系下可以写作：
∑
i
=
1
5
a
i
Z
i
a
6
=
0
\sum_{i=1}^{5} a_{i} Z_{i}+a_{6}=0
i=1∑5aiZi+a6=0
关于新的坐标
Z
\mathrm{Z}
Z，这正是一个 hyper plane 的方程！也就是说，如果我们做一个映射
ϕ
:
R
2
→
R
5
\phi : R_{2} \rightarrow R_{5}
ϕ:R2→R5，将
X
\mathrm{X}
X 按照上面的规则映射为
Z
\mathrm{Z}
Z，那么在新的空间中原来的数据将变成线性可分的，从而使用之前我们推导的线性分类算法就可以进行处理了。这正是 Kernel 方法处理非线性问题的基本思想。
再进一步描述 Kernel 的细节之前，不妨再来看看上述例子在映射过后的直观形态。当然，你我可能无法把 5 维空间画出来，不过由于我这里生成数据的时候用了特殊的情形，所以这里的超平面实际的方程是这个样子的（圆心在
X
2
\mathrm{X}_{2}
X2轴上的一个正圆）
∑
i
=
1
5
a
i
Z
i
a
6
=
0
\sum_{i=1}^{5} a_{i} Z_{i}+a_{6}=0
i=1∑5aiZi+a6=0
因此我只需要把它映射到
Z
1
=
X
1
2
,
Z
2
=
X
2
2
,
Z
3
=
X
2
Z_{1}=X_{1}^{2}, Z_{2}=X_{2}^{2}, \quad Z_{3}=X_{2}
Z1=X12,Z2=X22,Z3=X2，这样一个三维空间中即可，下图即是映射之后的结果，将坐标轴经过适当的旋转，就可以很明显地看出，数据是可以通过一个平面来分开的
核函数相当于把原来的分类函数：
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
⟨
x
i
,
x
⟩
b
f(x)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}\left\langle x_{i}, x\right\rangle+ b
f(x)=∑i=1nαiyi⟨xi,x⟩+b
映射成：
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
⟨
ϕ
(
x
i
)
,
ϕ
(
x
)
⟩
b
f(x)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}\left\langle\phi\left(x_{i}\right), \phi(x)\right\rangle+ b
f(x)=∑i=1nαiyi⟨ϕ(xi),ϕ(x)⟩+b
而其中的
α
\alpha
α可以通过求解如下 dual 问题而得到的：
max
α
∑
i
=
1
n
α
i
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
α
i
α
j
y
i
y
j
⟨
ϕ
(
x
i
)
,
ϕ
(
x
j
)
⟩
s.t.
,
α
i
≥
0
,
i
=
1
,
…
,
n
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
=
0
\begin{array}{l}{\max _{\alpha} \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j}\left\langle\phi\left(x_{i}\right), \phi\left(x_{j}\right)\right\rangle} \ {\text {s.t.}, \alpha_{i} \geq 0, i=1, \ldots, n} \ {\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}=0}\end{array}
maxα∑i=1nαi−21∑i,j=1nαiαjyiyj⟨ϕ(xi),ϕ(xj)⟩s.t.,αi≥0,i=1,…,n∑i=1nαiyi=0
这样一来问题就解决了吗？似乎是的：拿到非线性数据，就找一个映射
ϕ
(
⋅
)
\phi(\cdot)
ϕ(⋅)，然后一股脑把原来的数据映射到新空间中，再做线性 SVM 即可。不过事实上好像并没有这么简单。
细想一下，刚才的方法是不是有问题？
在最初的例子里，我们对一个二维空间做映射，选择的新空间是原始空间的所有一阶和二阶的组合，得到了五个维度；
如果原始空间是三维（一阶、二阶和三阶的组合），那么我们会得到：3(一次)+3(二次交叉)+3(平方)+3(立方)+1(x1x2x3)+23(交叉，一个一次一个二次，类似x1x2^2) = 19维的新空间，这个数目是呈指数级爆炸性增长的，从而势必这给
ϕ
(
⋅
)
\phi(\cdot)
ϕ(⋅)的计算带来非常大的困难，而且如果遇到无穷维的情况，就根本无从计算了。
这个时候，可能就需要 Kernel 出马了。
不妨还是从最开始的简单例子出发，设两个向量
x
1
=
(
η
1
,
η
2
)
T
x_{1}=\left(\eta_{1}, \eta_{2}\right)^{T}
x1=(η1,η2)T和
x
2
=
(
ξ
1
,
ξ
2
)
T
x_{2}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T}
x2=(ξ1,ξ2)T，而
ϕ
(
⋅
)
\phi(\cdot)
ϕ(⋅)即是到前面说的五维空间的映射，因此映射过后的内积为：
⟨
ϕ
(
x
1
)
,
ϕ
(
x
2
)
⟩
=
η
1
ξ
1
η
1
2
ξ
1
2
η
2
ξ
2
η
2
2
ξ
2
2
η
1
η
2
ξ
1
ξ
2
\left\langle\phi\left(x_{1}\right), \phi\left(x_{2}\right)\right\rangle=\eta_{1} \xi_{1}+\eta_{1}^{2} \xi_{1}^{2}+\eta_{2} \xi_{2}+\eta_{2}^{2} \xi_{2}^{2}+\eta_{1} \eta_{2} \xi_{1} \xi_{2}
⟨ϕ(x1),ϕ(x2)⟩=η1ξ1+η12ξ12+η2ξ2+η22ξ22+η1η2ξ1ξ2
（公式说明：上面的这两个推导过程中，所说的前面的五维空间的映射，回顾下之前的映射规则，再看那第一个推导，其实就是计算x1，x2各自的内积，然后相乘相加即可，第二个推导则是直接平方，去掉括号，也很容易推出来）
另外，我们又注意到：
(
⟨
x
1
,
x
2
⟩
1
)
2
=
2
η
1
ξ
1
η
1
2
ξ
1
2
2
η
2
ξ
2
η
2
2
ξ
2
2
2
η
1
η
2
ξ
1
ξ
2
1
\left(\left\langle x_{1}, x_{2}\right\rangle+ 1\right)^{2}=2 \eta_{1} \xi_{1}+\eta_{1}^{2} \xi_{1}^{2}+2 \eta_{2} \xi_{2}+\eta_{2}^{2} \xi_{2}^{2}+2 \eta_{1} \eta_{2} \xi_{1} \xi_{2}+1
(⟨x1,x2⟩+1)2=2η1ξ1+η12ξ12+2η2ξ2+η22ξ22+2η1η2ξ1ξ2+1
二者有很多相似的地方，实际上，我们只要把某几个维度线性缩放一下，然后再加上一个常数维度，具体来说，上面这个式子的计算结果实际上和映射
φ
(
X
1
,
X
2
)
=
(
2
X
1
,
X
1
2
,
2
X
2
,
X
2
2
,
2
X
1
X
2
,
1
)
T
\varphi\left(X_{1}, X_{2}\right)=\left(\sqrt{2} X_{1}, X_{1}^{2}, \sqrt{2} X_{2}, X_{2}^{2}, \sqrt{2} X_{1} X_{2}, 1\right)^{T}
φ(X1,X2)=(2
X1,X12,2
X2,X22,2
X1X2,1)T
之后的内积
⟨
φ
(
既有适合小白学习的零基础资料，也有适合3年以上经验的小伙伴深入学习提升的进阶课程，涵盖了95%以上C C++开发知识点，真正体系化！
由于文件比较多，这里只是将部分目录截图出来，全套包含大厂面经、学习笔记、源码讲义、实战项目、大纲路线、讲解视频，并且后续会持续更新
成：
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
⟨
ϕ
(
x
i
)
,
ϕ
(
x
)
⟩
b
f(x)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}\left\langle\phi\left(x_{i}\right), \phi(x)\right\rangle+ b
f(x)=∑i=1nαiyi⟨ϕ(xi),ϕ(x)⟩+b
而其中的
α
\alpha
α可以通过求解如下 dual 问题而得到的：
max
α
∑
i
=
1
n
α
i
−
1
2
∑
i
,
j
=
1
n
α
i
α
j
y
i
y
j
⟨
ϕ
(
x
i
)
,
ϕ
(
x
j
)
⟩
s.t.
,
α
i
≥
0
,
i
=
1
,
…
,
n
∑
i
=
1
n
α
i
y
i
=
0
\begin{array}{l}{\max _{\alpha} \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}-\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} y_{i} y_{j}\left\langle\phi\left(x_{i}\right), \phi\left(x_{j}\right)\right\rangle} \ {\text {s.t.}, \alpha_{i} \geq 0, i=1, \ldots, n} \ {\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} y_{i}=0}\end{array}
maxα∑i=1nαi−21∑i,j=1nαiαjyiyj⟨ϕ(xi),ϕ(xj)⟩s.t.,αi≥0,i=1,…,n∑i=1nαiyi=0
这样一来问题就解决了吗？似乎是的：拿到非线性数据，就找一个映射
ϕ
(
⋅
)
\phi(\cdot)
ϕ(⋅)，然后一股脑把原来的数据映射到新空间中，再做线性 SVM 即可。不过事实上好像并没有这么简单。
细想一下，刚才的方法是不是有问题？
在最初的例子里，我们对一个二维空间做映射，选择的新空间是原始空间的所有一阶和二阶的组合，得到了五个维度；
如果原始空间是三维（一阶、二阶和三阶的组合），那么我们会得到：3(一次)+3(二次交叉)+3(平方)+3(立方)+1(x1x2x3)+23(交叉，一个一次一个二次，类似x1x2^2) = 19维的新空间，这个数目是呈指数级爆炸性增长的，从而势必这给
ϕ
(
⋅
)
\phi(\cdot)
ϕ(⋅)的计算带来非常大的困难，而且如果遇到无穷维的情况，就根本无从计算了。
这个时候，可能就需要 Kernel 出马了。
不妨还是从最开始的简单例子出发，设两个向量
x
1
=
(
η
1
,
η
2
)
T
x_{1}=\left(\eta_{1}, \eta_{2}\right)^{T}
x1=(η1,η2)T和
x
2
=
(
ξ
1
,
ξ
2
)
T
x_{2}=\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)^{T}
x2=(ξ1,ξ2)T，而
ϕ
(
⋅
)
\phi(\cdot)
ϕ(⋅)即是到前面说的五维空间的映射，因此映射过后的内积为：
⟨
ϕ
(
x
1
)
,
ϕ
(
x
2
)
⟩
=
η
1
ξ
1
η
1
2
ξ
1
2
η
2
ξ
2
η
2
2
ξ
2
2
η
1
η
2
ξ
1
ξ
2
\left\langle\phi\left(x_{1}\right), \phi\left(x_{2}\right)\right\rangle=\eta_{1} \xi_{1}+\eta_{1}^{2} \xi_{1}^{2}+\eta_{2} \xi_{2}+\eta_{2}^{2} \xi_{2}^{2}+\eta_{1} \eta_{2} \xi_{1} \xi_{2}
⟨ϕ(x1),ϕ(x2)⟩=η1ξ1+η12ξ12+η2ξ2+η22ξ22+η1η2ξ1ξ2
（公式说明：上面的这两个推导过程中，所说的前面的五维空间的映射，回顾下之前的映射规则，再看那第一个推导，其实就是计算x1，x2各自的内积，然后相乘相加即可，第二个推导则是直接平方，去掉括号，也很容易推出来）
另外，我们又注意到：
(
⟨
x
1
,
x
2
⟩
1
)
2
=
2
η
1
ξ
1
η
1
2
ξ
1
2
2
η
2
ξ
2
η
2
2
ξ
2
2
2
η
1
η
2
ξ
1
ξ
2
1
\left(\left\langle x_{1}, x_{2}\right\rangle+ 1\right)^{2}=2 \eta_{1} \xi_{1}+\eta_{1}^{2} \xi_{1}^{2}+2 \eta_{2} \xi_{2}+\eta_{2}^{2} \xi_{2}^{2}+2 \eta_{1} \eta_{2} \xi_{1} \xi_{2}+1
(⟨x1,x2⟩+1)2=2η1ξ1+η12ξ12+2η2ξ2+η22ξ22+2η1η2ξ1ξ2+1
二者有很多相似的地方，实际上，我们只要把某几个维度线性缩放一下，然后再加上一个常数维度，具体来说，上面这个式子的计算结果实际上和映射
φ
(
X
1
,
X
2
)
=
(
2
X
1
,
X
1
2
,
2
X
2
,
X
2
2
,
2
X
1
X
2
,
1
)
T
\varphi\left(X_{1}, X_{2}\right)=\left(\sqrt{2} X_{1}, X_{1}^{2}, \sqrt{2} X_{2}, X_{2}^{2}, \sqrt{2} X_{1} X_{2}, 1\right)^{T}
φ(X1,X2)=(2
X1,X12,2
X2,X22,2
X1X2,1)T
之后的内积
⟨
φ
(
[外链图片转存中…(img-FFEEfQMe-1715827706410)]
[外链图片转存中…(img-kFZV8t0j-1715827706410)]
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