Go最新Hessian矩阵与牛顿法_矩阵迭代收敛条件 hessian(1)，GitHub标星9K的Google官方MVP+RxGolang项目详解

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公式可能大家会比较熟悉，一阶泰勒展式，f′(a) 表示 f(x) 在 x0 点的斜率 （这个很好理解），当X方向增量（Δx）比较小时，Y方向增量（Δy）可以近似表示为 斜率（导数）*X方向增量（f′(x0) Δx） ，令 f(x) = 0，我们能够得到 迭代公式：

x = x0 - f(x0) / f′(x0)    =>   xn+1 = xn - f(xn) / f′(n)

通过逐次迭代，牛顿法 将逐步逼近最优值，也就是方程的解。

二. 扩展到最优化问题

这里的最优化 是指非线性最优化，解非线性最优化的方法有很多，比如 梯度下降法、共轭梯度法、变尺度法和步长加速法 等，这里我们只讲 牛顿法。

针对上面问题进行扩展：

解决 f(x) = 0 的问题，我们用了一阶泰勒展开：

f(x) = f(x0) + f’(x0)*(x-x0) + o( (x-x0)^2 )

去掉末位高阶展开项，代入x = x0+Δx，得到：

f(x) = f(x0+Δx) = f(x0) + f′(x0) Δx

那么 要解决 f′(x) = 0 的问题，我们就需要二阶泰勒展开：

f(x) = f(x0) + f’(x0)*(x-x0) + 0.5*f’'(x0)*(x-x0)^2 + o( (x-x0)^3 )

去掉末位高阶展开项，代入x = x0+Δx，得到：

f(x) = f(x0+Δx) = f(x0) + f′(x0)Δx + 0.5 * f′′(x0) (Δx)^2

求导计算： f′(x) = f’(x0+Δx) = 0，得到：

[ f(x0) + f′(x0)(x−x0) + 0.5 f′′(x0)(x−x0)^2 ]′ = 0

整理：

f′(x0) + f′′(x0)(x−x0) = 0

x = x0 − f′(x0) / f′′(x0)   =>  xn+1 = xn - f’(xn) / f’′(xn)

牛顿法 一图总结为：

三. 牛顿法 与 Hessian矩阵的关系

以上牛顿法的推导 是针对 单变量问题，对于多变量的情况，牛顿法 演变为：

与上面的单变量表示方式类似，需要用到变量的 一阶导数 和 二阶导数。

其中 J 定义为雅克比矩阵，对应一阶偏导数。

H 为 Hessian矩阵，对应二阶偏导数。

网上也能搜到类似的公式表达，也列出来：

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