2024年马尔可夫网络，（马尔可夫随机场、无向图模型）(1)，2024年最新蚂蚁金服Golang架构面试题-优快云博客

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一个无向图 G = (V,E)，每个顶点 v ∈V 表示一个在集合[外链图片转存中…(img-JoCTLkgH-1715797344692)]的随机变量，每条边 {u,v} ∈ E 表示随机变量u 和 v之间的一种依赖关系。
一个函数集合 [外链图片转存中…(img-TApITfsm-1715797344692)]（也称为因子或者 团因子 有时也称为特征），每一个 [外链图片转存中…(img-OZBl7cTH-1715797344693)] 的定义域是图G的团或子团k. 每一个 [外链图片转存中…(img-VxexjeX2-1715797344693)]是从可能的特定联合的指派（到元素k）到非负实数的映射。

联合分布函数：

联合分布（吉布斯测度）用马尔可夫网络可以表示为：

[外链图片转存中…(img-bAUeTLOJ-1715797344693)]

其中[外链图片转存中…(img-LM234cRZ-1715797344693)]是向量，[外链图片转存中…(img-B8YIiY38-1715797344694)]是随机变量[外链图片转存中…(img-r9hlFFrG-1715797344694)]在第k个团的状态（[外链图片转存中…(img-RVuhGHMr-1715797344694)] 是在第k个团中包含的节点数。），乘积包括了图中的所有团。注意马尔可夫性质在团内的节点存在，在团之间是不存在依赖关系的。这里，[外链图片转存中…(img-81HIQAWe-1715797344694)] 是配分函数，有

[外链图片转存中…(img-eCbTWc1O-1715797344695)].

实际上，马尔可夫网联络经常表示为对数线性模型。通过引入特征函数 [外链图片转存中…(img-fmtw20hW-1715797344695)]，得到

[外链图片转存中…(img-liLxPFi6-1715797344695)]

和

[外链图片转存中…(img-XU4g5LTW-1715797344695)]

以及划分函数

[外链图片转存中…(img-UnDmp0St-1715797344696)] 。

其中，[外链图片转存中…(img-FoLkX7Ji-1715797344696)]是权重，[外链图片转存中…(img-y9sVkLLZ-1715797344696)]是势函数，映射团[外链图片转存中…(img-Cpcxdpmg-1715797344696)]到实数。这些函数有时亦称为吉布斯势；术语势源于物理，通常从字面上理解为在临近位置产生的势能。

对数线性模型是对势能的一种便捷的解释方式。一个这样的模型可以简约的表示很多分布，特别是在领域很大的时候。另一方面，负的似然函数是凸函数也带来便利。但是即便对数线性的马尔可夫网络似然函数是凸函数，计算似然函数的梯度仍旧需要模型推理，而这样的推理通常是难以计算的。

马尔可夫性质：

马尔可夫网络有这样的马尔可夫性质：图的顶点u在状态[外链图片转存中…(img-2q9XzFi1-1715797344697)]的概率只依赖顶点u的最近临节点，并且顶点u对图中的其他任何节点是条件独立的。该性质表示为

[外链图片转存中…(img-yFjA34TI-1715797344697)]

顶点u的最近临节点集合[外链图片转存中…(img-IJ1X1b0j-1715797344697)] 也称为顶点u的马尔可夫毯。