面试高频算法难题：数组中的第K个最大元素(1)，2024年最新浦发银行java开发面试

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正文

呵呵，没关系，回家等通知去吧！

解题思路

小灰，你刚刚去面试了？结果怎么样？

唉……

大黄，要想找到无序数组中的第k大元素，有什么性能较高的方法吗？

这是一道很经典的算法题，解法有很多种，

其中最容易想到的是利用二叉堆来解决。

关于二叉堆的概念，在上一本《漫画算法》中我们介绍过。简而言之，二叉堆是一种特殊的完全二叉树，它包含最大堆和最小堆两种形式。

其中最小堆的特点，是每一个父结点都小于等于自己的子结点，堆顶是整个堆中最小的结点。要解决这个算法题，我们可以利用最小堆的特性。

可是，最小堆和这个算法题究竟有什么关系呢？

别急，让我来解释一下这个方法的思路。

方法3：最小堆法

维护一个容量为k的最小堆，堆中的k个结点代表着数组当前最大的k个元素，而堆顶显然是这k个元素中的最小值。

遍历原数组，每遍历一个元素，就和堆顶比较，如果当前元素小于等于堆顶，说明该元素一定不是最大的k个元素之一，继续遍历；如果元素大于堆顶，说明该元素有可能是最大的k个元素之一，把当前元素放在堆顶位置，并调整二叉堆（下沉操作）。

遍历结束后，堆顶就是数组的最大k个元素中的最小值，也就是第k大元素。

假设k=5，具体的执行步骤如下：

1. 把数组的前k个元素构建成堆。

2. 继续遍历数组，和堆顶比较，如果小于等于堆顶，则继续遍历；如果大于堆顶，则取代堆顶元素并调整堆。

遍历到元素2，由于 2<3，所以继续遍历。

遍历到元素20，由于 20>3，20取代堆顶位置，并调整堆。

遍历到元素24，由于 24>5，24取代堆顶位置，并调整堆。

以此类推，我们一个一个遍历元素，当遍历到最后一个元素8的时候，最小堆的情况如下：

3. 此时的堆顶，就是堆中的最小值，也就是数组中的第k大元素。

这个方法的时间复杂度是多少呢？

构建堆的时间复杂度是 O（k）
遍历剩余数组的时间复杂度是O（n-k）
每次调整堆的时间复杂度是 O（logk）

其中2和3是嵌套关系，1和2,3是并列关系，所以总的最坏时间复杂度是O（（n-k）logk + k）。当k远小于n的情况下，也可以近似地认为是O（nlogk）。

这个方法的空间复杂度是多少呢？

刚才我们在详细步骤中把二叉堆单独拿出来演示，是为了便于理解。但如果允许改变原数组的话，我们可以把数组的前k个元素“原地交换”来构建成二叉堆，这样就免去了开辟额外的存储空间。

因此，这个方法的空间复杂度是O（1）。

明白了，最小堆法还真是个巧妙的解决方法！怎么用代码来实现呢？

代码很简单，让我们来看一看：

public class KthLargestNumber { /** * 寻找第k大的元素 * @param array 待调整的堆 * @param k 第几大 */ public static int findKthLargestNumber(int[] array, int k) { //1.用前k个元素构建最小堆 buildHeap(array, k); //2.继续遍历数组，和堆顶比较 for (int i = k; i < array.length; i++) { if (array[i] > array[0]) { array[0] = array[i];

downAdjust(array, 0, k); } } //3.返回堆顶元素 return array[0]; }

/** * 构建堆 * @param array 待调整的堆 * @param length 堆的有效大小 */ private static void buildHeap(int[] array, int length) { // 从最后一个非叶子结点开始，依次下沉调整 for (int i = (length - 2) / 2; i >= 0; i–) { downAdjust(array, i, length); } }

/** * 下沉调整 * @param array 待调整的堆 * @param index 要下沉的结点 * @param length 堆的有效大小 */ private static void downAdjust(int[] array, int index, int length) { // temp保存父结点值，用于最后的赋值 int temp = array[index]; int childIndex = (2 * index) + 1;

while (childIndex < length) { // 如果有右孩子，且右孩子小于左孩子的值，则定位到右孩子 if (((childIndex + 1) < length) && (array[childIndex + 1] < array[childIndex])) { childIndex++; } // 如果父结点小于任何一个孩子的值，直接跳出 if (temp <= array[childIndex]) {

break; } //无需真正交换，单向赋值即可 array[index] = array[childIndex]; index = childIndex; childIndex = (2 * childIndex) + 1; }

array[index] = temp; }

public static void main(String[] args) { int[] array = new int[] { 7, 5, 15, 3, 17, 2, 20, 24, 1, 9, 12, 8 }; System.out.println(findKthLargestNumber(array, 5)); }}

原来如此，这下彻底明白啦！

要寻找数组的第k大元素，其实还有一种方法，这种方法就是分治法

方法4：分治法

大家都了解快速排序，快速排序利用分治法，每一次把数组分成较大和较小的两部分。

我们在寻找第k大元素的时候，也可以利用这个思路，以某个元素a为基准，把大于a的元素都交换到数组左边，小于a的元素都交换到数组右边。

比如我们选择以元素7作为基准，把数组分成了左侧较大，右侧较小的两个区域，交换结果如下：