【Codeforces Global Round 18】【题解A-C】-优快云博客

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文章涉及计算建筑物高度数组的丑陋程度，探讨数组按位AND操作使之非零所需的最少操作数，以及算法和数据结构的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

你认为建筑物的丑陋是最高和最短建筑物之间的高度差。形式上，丑陋被定义为 max(a)−min(a)。

在任意天数之后，您可以达到的最小可能丑度是多少？

输入

第一行包含一个整数 t (1≤t≤1000)——测试用例的数量。然后是 t 个案例。

每个测试用例的第一行包含一个整数 n (2≤n≤100)——建筑物的数量。

每个测试用例的第二行包含 n 个空格分隔的整数 a 1 , a 2 , … , a n ( 1 ≤ a i ≤ 1 0 7 ) a_1,a_2,…,a_n (1≤a_i≤10^7) a1,a2,…,an(1≤ai≤107)——建筑物的高度。

输出

对于每个测试用例，输出一个整数——建筑物的最小可能丑陋程度。

题解：

如果 max(a)−min(a) 严格大于 1，您可以分别对 max 和 min 应用操作，这使它们彼此更接近。换句话说，它要么减小 max(a)−min(a) 要么保持不变。这意味着答案总是≤1。现在剩下的就是确定答案是 0 还是 1。如果数组的总和可以被 n 整除，那么答案只能是 0，因为数组的总和在一次运算之后不能改变，并且如果它不能被 n 整除 n 你不能让每个元素都相等。这意味着如果总和可被 n 整除，则答案为 0，否则为 1。

code:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef long double ld;

typedef pair<int,int> pii;

const int maxn=1e6+5;

void solve(){

int n;

cin >> n;

int a[1000] = {0};

int sum = 0;

int maxx = 0;

for (int i = 0; i < n;i++){

cin >> a[i];

sum += a[i];

}

if(sum%n==0)

cout << “0\n”;

else

cout << “1\n”;

}

int main(){

ios::sync_with_stdio(0);

int t;

cin >> t ;

while(t–){

solve();

}

return 0;

}

B. And It’s Non-Zero

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题目描述

给定一个数组，其中包含 [l,r] 中的所有整数。例如，如果 l=2 且 r=5，则数组将为 [2,3,4,5]。为了使数组的按位 AND 非零，您可以删除的最小元素数是多少？

按位 AND 是一种二元运算，它采用两个等长的二进制表示，并对每对相应的位执行 AND 运算。

输入

第一行包含一个整数 t ( 1 ≤ t ≤ 1 0 4 ) t (1≤t≤10^4) t(1≤t≤104)——测试用例的数量。然后是 t 个案例。

每个测试用例的第一行包含两个整数 l l l 和 r ( 1 ≤ l ≤ r ≤ 2 ⋅ 1 0 5 ) r (1≤l≤r≤2⋅10^5) r(1≤l≤r≤2⋅105)——数组的描述。

输出

对于每个测试用例，输出一个整数——问题的答案。

inputCopy

1 2

2 8

4 5

1 5

100000 200000

outputCopy

31072

在第一个测试用例中，数组是 [1,2]。目前，按位与为 0，因为 1 & 2=0。但是，删除1（或2）后，数组变为[2]（或[1]），按位AND变为2（或1）。可以证明这是最优的，所以答案是 1。

在第二个测试用例中，数组是 [2,3,4,5,6,7,8]。目前按位与为0，但删除4、5、8后，数组变为[2,3,6,7]，按位与为2，可以证明这是最优的，所以答案是 3。请注意，可能还有其他方法可以删除 3 个元素。

题解：

让我们解决补码问题：找到数组的最大子序列，使得它们的按位 AND 非零。令 x 是最佳子序列的按位和。由于 x≠0，因此 x 中必须至少设置一位。让我们迭代那个位，称之为 b，并在每次迭代中计算最大的子序列，其按位和设置了该位。对于要在最终答案中设置的第 b 位，所选子序列中的每个元素都必须设置该位。由于选择第 b 位打开的每个元素都是有效的子序列，这意味着第 b 位的答案是设置了第 b 位的元素的数量。因此，最终问题的答案是 n − m a x 1 ≤ b ≤ 30 c n t b n−max_{1≤b≤30}cnt_b n−max1≤b≤30cntb，其中 c n t b cnt_b cntb 是设置了第 b 位的元素的数量。

注意：最终答案是否包含多个设置位并不重要，它仍然包含在至少一种情况下，并且按位和仍然是非零的。

剩下的就是对所有 b 设置第 b 位的 [l…r] 范围内的元素数量进行计数。这可以通过预计算来完成，通过在回答任何测试用例之前创建 b 个前缀和数组，其中第 b 个数组的第 i 个元素是具有第 b 个位的整数 ≤i 的数量。在此之后，您可以使用前缀和技术来回答查询，如 c n t b = a b , r − a b , l cnt_b=a_{b,r}−a_{b,l} cntb=ab,r−ab,l，如果 a b a_b ab 是第 b 个数组。

挑战：解决 1 ≤ l ≤ r ≤ 1 0 9 1≤l≤r≤10^9 1≤l≤r≤109的问题。