动态规划算法专题（四）：子串、子数组系列

Sunrise_angel

已于 2024-10-10 17:59:23 修改

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分类专栏：算法文章标签：算法动态规划 leetcode 开发语言 java

于 2024-10-08 05:00:00 首次发布

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1、最大子数组和

. - 力扣（LeetCode）

1.1 算法原理

状态表示dp[i]：

以i位置为结尾，最长子序列之和

状态转移方程：

dp[i]=max(dp[i-1]+nums[i-1],nums[i-1]);

初始化：

int[] dp = new int[n+1];
dp[0]=0;

填表顺序：

从左往右

返回值：

dp中最大序列和

1.2 算法代码

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n + 1];
        // 初始化
        dp[0] = 0;
        int ret = Integer.MIN_VALUE;
        // 填表
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);
            ret = Math.max(ret, dp[i]);
        }
        return ret;
    }
}

2、环形子数组的最大和

. - 力扣（LeetCode）

2.1 算法原理

核心：将带环问题转化为普通不带环问题

状态表示：

f[i]：以i位置为结尾，最大子序列之和
g[i]：以i位置为结尾，最小子序列之和

状态转移方程：

f[i] = Math.max(f[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);

g[i] = Math.min(g[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);

初始化：

下标映射：dp[i]-->nums[i-1]
虚拟节点：要保证后续填表的正确性：f[0]=g[0]=0;

填表顺序：

从左往右，两个表一起填。

返回值(特殊情况：当表中的数都是负数时(都在最小子序列中)，此时sum-gMin=0)：

找到f表中的最大值 fMax;
找到g表中的最小值 gMin，进而得到最大和序列：sum-gMin；
return sum == gMin ? fMax : max(fMax, sum-gMin);

2.2 算法代码

class Solution {
    public int maxSubarraySumCircular(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for(int x : nums) sum += x;
        int[] f = new int[n + 1];//内部最大子数组
        int[] g = new int[n + 1];//内部最小子数组
        f[0] = g[0] = 0;
        int fMax = Integer.MIN_VALUE;
        int gMin = Integer.MAX_VALUE;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            f[i] = Math.max(f[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);
            g[i] = Math.min(g[i - 1] + nums[i - 1], nums[i - 1]);
            fMax = Math.max(fMax, f[i]);
            gMin = Math.min(gMin, g[i]);
        }
        // 注意数组中全是负数的情况
        return sum == gMin ? fMax : Math.max(fMax, sum - gMin);
    }
}