扔鸡蛋零界楼层问题（2个鸡蛋，n层楼）

2个鸡蛋，n层楼

在日常生活中，我们或许会遇到这样一个有趣的问题：假设你有 2 个鸡蛋和一栋 n 层的高楼，你需要通过从不同楼层扔鸡蛋的方式，找出鸡蛋恰好不会摔碎的最高楼层，也就是所谓的 “临界点”（设为 h）。

问题核心

这里的 “临界点” h，就是鸡蛋扔下去刚好不碎的最高楼层。比如从 9 楼扔没事，10 楼扔就碎了，那 h 就是 9。如果 1 楼就碎，那 h 就是 0；要是 100 层都没事，h 就在 100以上。咱们的目标很明确：不管 h 藏在哪个楼层，都能用最少的尝试次数把它找出来。

 

方法一：最笨方法（1个鸡蛋的冒险）

方法原理：用一个鸡蛋从第一层开始一层一层扔，若在x层碎了，说明h=x-1； 20层摔碎则零界点h是19层。

优点：简单，容易想到。

缺点：只使用一个鸡蛋，而且最坏情况需要n次，平均需要n/2次，效率极低。

 

方法二：二分法（看似高效，实则踩坑）

方法原理：第一个鸡蛋在楼层的中间位置进行尝试，确定大致范围后，第二个逐层遍历。

例：第一个鸡蛋在n/2层扔：

如果碎了那第二个鸡蛋就从第一层开始逐层扔到n/2-1层（最坏 n/2 次）；

如果没碎就在n/2+（n/2)/2层（即3n/4层）扔，也就是在剩下的楼层对半扔：

    若碎了，需从 (n/2)+1 — (3n/4)-1 层逐层试（最坏 2+(n/4-1)次）。

     如果没碎，以此类推。

优点：鸡蛋没碎的时候，一下子能排除一半楼层。理论上在鸡蛋数量充足时（如 3 个及以上）效率极高。逻辑简单，符合 二分查找 的直觉思维，容易理解和操作。

缺点：最坏情况次数过高（如第一次在 50 层碎了，需 50 次）。因为鸡蛋数量少（只有 2 个），一旦第一个鸡蛋在早期楼层碎了，剩下的那个鸡蛋就得一层一层慢慢试，次数反而爆表。说白了，这方法适合鸡蛋多的情况，比如 3 个以上，硬套在 2 个鸡蛋的场景里，纯属水土不服。

 

方法三：固定间隔法（均衡尝试次数）

方法原理：用第一个鸡蛋按固定间隔k层尝试（k可以为n/10，n/5等等），确定大致范围后，用第二个鸡蛋逐层试。

例：k = n/10

第一个鸡蛋尝试 n/10、2n/10、3n/10 ...、n 层（最多 10 次）；

若在第n/10*i层碎了，第二个鸡蛋从n/10*(i-1)+1到n/10*i-1层尝试（最多 n/10-1 次）；

最坏情况：(n/10-1)+10 次（如h=n-1时，第一个鸡蛋试到n层碎了，第二个鸡蛋试 9n/10+1—n-1 层）。

优点：相比暴力枚举，至少把次数降下来了。而且间隔能灵活调整，比如 30 层的楼，间隔取 5 的话，最坏 5+4=9 次就能搞定。

缺点： 间隔选择依赖经验，若楼层为100， k 选太小（如 5），第一个鸡蛋需试 20 次，总次数 20+4=24 次；若 k 选太大（如 20），第一个鸡蛋最多试 5 次，但第二个鸡蛋可能需试 19 次，总次数 5+19=24 次，均不如中间值合理，存在选择困难。

 

方法四：最优间隔法（数学方程推导最优解）

方法原理：让 “第一个鸡蛋的尝试次数” 与 “第二个鸡蛋的剩余次数” 之和恒定，实现总次数最小。

****因为n不好来记算数学方程推导，我们令n=100****

设最坏情况下最多尝试x次，推导如下：

第一次在x层扔：

若碎了，第二个鸡蛋需从 1 层到x-1层试（最多x-1次），总次数1+(x-1)=x；

若没碎，剩余x-1次机会，第二次应在x + (x-1)层扔（覆盖x-1层）：

    若碎了，第二个鸡蛋从x+1层到x+(x-1)-1层试（最多x-2次），总次数2+(x-2)=x；

以此类推，第i次扔的楼层为x + (x-1) + ... + (x-i+1)；

总覆盖楼层数需≥100  ：x + (x-1) + ... + 1 ≥ 100（等差数列求和）。

解方程：x*(x+1)/2 ≥ 100，得x=14（14*15/2=105≥100）。

步骤：
第一个鸡蛋尝试 14层  （+13-->）  27层  （+12-->）  39 层 （+11-->）  50层  （+10-->）  60层  （+9-->） 69层  （+8-->）  77层  （+7-->）  84层  （+6-->）  90层  （+5-->）  95层   (+4-->)  99层  （+1-->）  100层。（前面累加 14+13+...+4=99 层，剩余 1 层到 100，因此最后一步加 1）

若在某层碎了，用第二个鸡蛋在区间内逐层试，最坏情况总次数≤14。

优点：这个方法最坏情况下的尝试次数最少，是 2 个鸡蛋 n 层楼场景的理论最优解。

缺点：这方法是真的妙，次数是最少的，但就是得提前算好每次扔的楼层，像 14、27、39 这些数，记起来有点费劲。而且仅限 2 个鸡蛋的情况，多一个鸡蛋都用不了，还得靠动态规划那套办法。

 

从暴力的逐层试，到用数学算出来的最优解，其实就是个不断平衡 “鸡蛋数量” 和 “最坏情况” 的过程。笨办法不顾效率，中间的方法想找平衡，最优解则用逻辑把次数压到了最低。实际碰到这种问题，还是得看手里有几个鸡蛋、楼层多高，再选合适的办法 —— 毕竟解决问题的思路，往往比答案本身更有意思。​

 

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