【背包问题】多重背包+分组背包

前言：

本文承自上篇完全背包优快云和01背包优快云。

1，多重背包问题

多重背包1

有n中物品和一个容量是V的背包。

第i中物品，最多有s[i]件，每件体积是v[i]，价值是w[i]。

求解将那些物品放入背包中，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，输出最大价值。

输入格式：

第一行两个整数N和V，用空格分开，分别表示物品种数和背包容量。

接下来有N行，每行3个整数，v[i],w[i],s[i]，用空格分开，表示第i个物品的体积，价值和个数。

输出格式：

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围：

0<N,V<=100

0<w[i],s[i],v[i]<=100

输入样例：

4 5

1 2 3

2 4 1

3 4 3

4 5 2

输出样例：

10 

思路： 

完全背包问题中，第i个物品是可以选任意多个的，而多重背包只是限制了第i个物品最多选s[i]个。

只需加上这个限定条件即可：

状态转移方程：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v[i]*k]+w[i]*k)，k=0，1，2，3......，s[i]

循环遍历：

外层循环：遍历所有物品

中层循环：遍历背包容量

内层循环：这个循环用于考虑当前物品i可以被选择的数量，k代表选择当前物品的数量。
循环的条件k <= s[i] && k * v[i] <= j确保了两个限制：不超过物品的最大可选数量s[i]，以及所选物品的总体积k * v[i]不超过当前背包容量j

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 110;
int n, m, v[N], w[N], s[N], f[N][N];
 
int main()
{
	cin >> n >> m;
 
	for (int i = 1; i <= n; i++)cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
 
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = 0; j <= m; ++j)
		{
			for (int k = 0; k <= s[i] && k * v[i] <= j; ++k)
			{
				f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i] * k] + w[i] * k);
			}
		}
	}
	cout << f[n][m] << endl;
 
	return 0;
}

多重背包2

与多重背包1不同的是，本题的数据范围变大，此时不能再使用多重背包1的思路，时间复杂度过大需要优化。

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

输入格式：
第一行两个整数，N 和 V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi, wi, si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式：
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围：
0 < N ≤ 1000
0 < V ≤ 2000
0 < vi, wi, si ≤ 2000

输入样例：

4 5

1 2 3

2 4 1

3 4 3

4 5 2

输出样例：

10

思路：

对于本题，我们可以将该题转化成01背包问题，将同类物品进行拆分，拆分完一类物品，再去拆下一个，将所有物品拆分好，就将多重背包问题转化为01背包问题。

 

#include<bits/stdc++.h>
 
using namespace std;
 
const int N = 25000, M = 2010;
//   1000*log2000
int n, m, v[N], w[N], f[N];
 
int main()
{
	cin >> n >> m;
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		int a, b, s; cin >> a >> b >> s;
		int k = 1;
		while (k <= s)
		{
			cnt++;
			v[cnt] = a * k;
			w[cnt] = b * k;
			s -= k;
			k *= 2;
		}
		if (s > 0)
		{
			cnt++;
			v[cnt] = a * s;
			w[cnt] = b * s;
		}
	}
	n = cnt;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		for (int j = m; j >= v[i]; j--)
		{
			f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
		}
	}
	cout << f[m] << endl;
 
	return 0;
}

 2，分组背包问题

给定N组物品和一个容量为V的背包。每组物品包含若干个，但在同一组内，你最多只能选择一件物品。每件物品有其对应的体积和价值。目标是选择一些物品放入背包，使得背包内物品的总体积不超过背包的容量，同时背包内物品的总价值尽可能大。

输入：

第一行输入包含两个整数N和V，分别代表物品组数和背包的容量。
接下来是N组数据。每组数据的第一行包含一个整数，代表第i组的物品数量。
每组数据接下来的行，每行包含两个整数和，分别代表第i组中第j个物品的体积和价值。
输出：

输出一个整数，代表可以放入背包中的物品的最大价值。
数据范围：

0 < N, V ≤ 100
0 < Si ≤ 100
0 < vij, wij ≤ 100

输入样例

3 5

2

1 2

2 4

1

3 4

1 

4 5

输出样例：

8

思路： 

对于每一组的物品，面临选和不选，分组背包问题就是01背包问题基础之上，多了一个在每一组中选出最优的或者不选。

对于每一组物品，尝试将组中的每个物品放入背包中，看看是否能够得到更大的价值。

for (int i = 1; i <= n; ++i) // 遍历每一组物品  
{  
    for (int j = m; j >= 0; --j) // 遍历背包容量从m到0  
    {  
        for (int k = 0; k < s[i]; ++k) // 遍历第i组中的每个物品  
        {  
            if (v[i][k] <= j) // 如果当前物品可以放入背包中  
            {  
                // 更新背包的最大价值，考虑放入当前物品或不放入的情况  
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);  
            }  
        }  
    }  
}

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N = 110;
int n, m, v[N][N], w[N][N], s[N], f[N];
 
int main()
{
	cin >> n >> m;
 
	for (int i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> s[i];
		for (int j = 0; j < s[i]; j++)
		{
			cin >> v[i][j] >> w[i][j];
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		for (int j = m; j >= 0; --j)
		{
			for (int k = 0; k < s[i]; ++k)
			{
				if (v[i][k] <= j)
					f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
			}
		}
	}
 
	cout << f[m] << endl;
 
	return 0;
}