【有序表实现ADT-ONE:AVL树静态模板实现】-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/2303_79972050/article/details/145036002

有序表介绍

一.有序表概述

有序表可以理解C++/Java中的抽象类; \从数据结构角度出发,
它是一种抽象数据结构。它提供实现功能需求，但没有要求严格的具体实现。

对比熟悉无序表(通常是哈希表);
哈希表特点，它的关键字 $k ey$ 不是有序组织的，它通过哈希函数打乱离散分布的结果。
有序表实现的方式就是花费一些代价，将这些关键字key顺序组织起来，对比无序表它可以实现丰富有序的操作。

若你没有听说过有序表的概念，那么看完上面的文字，大概对有序表的实现有概念了吧。
比方说，尝试用一个数组有序的组织数据，或者有序维护单向双向链表等等。
答案是否定的，有序表还有一个特点，它必须保证足够高的效率。
具体, 保证增删查改操作均达到 $O (l o g n)$ 的水平，有序数组增删操作最坏是 $O (n)$ ，有序链表查询操作最坏是 $O (n)$ 。

数据结构的抽象描述是这样的:元素按一定顺序(一般非降序或非升序)排列、且可支持高效检索或操作的一类线性表(或广义表).

二.实现有序表的数据结构

常见实现有序表的数据结构:

有序数组: 尽管增删 $O (n)$ , 但支持二分查找 $O (l o g n)$ 。实现简单，多查少改场景适用。
链表(跳表):单个有序链表组织没有查询优势，但层级有序链表即跳表，实现全 $O (l o g n)$ 操作。
(自)平衡树结构:数据结构两大阴间->AVL树，红黑树. 竞赛版:替罪羊树，Treap，FHQ Treap,Splay树; 其它的比如数据库中的B树，B*变种，2-3树,2-3-4树这些。有些场景线段树和树状数组也可以充当有序表。

前言

本篇介绍AVL树的算法模板静态数组实现，有关于类模板(动态空间使用，释放)实现笔者暂时不更。
笔者会不断完善本篇内容，请各位不吝赐教。

前置知识: 数据结构-二叉搜索树
编程语言:C++. 后续会补充Java版本.

本文基于如下链接实现的AVL树
Luogu3369:普通平衡树

实现了如下操作:
插入、删除、获取关键字的排名、获取排名的关键字，查找前驱和后继等基础功能.
本篇实现了有序表集而非有序表映射，笔者可以根据下面代码扩展对应的功能。

正文部分

概述

二叉搜索树的时间复杂度依赖高度 $O (h)$ , 最坏是 $O (n)$ .
能否实现一棵自动平衡的树，将高度h控制在下界 $l o g n$ .
AVL树是最早提出满足这种要求的树。它对平衡性的定义非常严格。

针对一般的二叉搜索树，若采用动态实现的方式，那么在经过插入或者删除可能会破坏树的平衡性。AVL树通过旋转这种检查调整的操作，每次插入和删除都会进行这样的检测并将树调整平衡。
理解旋转操作是实现AVL树的重点。

数据结构与全局变量

const static int N = 1e6+10;//数据范围

int head = 0; // AVL树的根节点
int cnt; // 当前最后使用过节点的编号
int key[N]; // 节点的值
int height[N]; // 节点的高度
int leftChild[N]; // 节点的左子节点
int rightChild[N]; // 节点的右子节点
int key_count[N]; // 节点值的重复次数
int size[N]; // 子树大小

head: AVL 树的根节点编号。
cnt: 用于分配新的节点编号。
key: 存储每个节点的值。
height: 存储每个节点的高度。
leftChild 和 rightChild: 存储每个节点的左子节点和右子节点的编号。
key_count: 处理重复元素，记录每个值的出现次数。
size: 记录每个节点所在子树的总节点数（包括重复计数）。

下面我解释一下为什么引入某些数组?

由于本题要求记录关键字，但不需要存储键值对。因此不需要映射关系的value数组。
由于AVL树的定义，需要记录当前节点的树高信息来维护平衡性，需要height数组。
本题可以重复添加关键字。针对重复关键字可以采取词频统计的方式。避免了为重复关键字分配节点编号。引入key_count数组。
本题要计算排名引入一个size数组记录以当前节点为根节点的子树大小可以简化计算。
采用递归实现，因此不需要parent数组记录每个节点的双亲节点编号。

API

以下是下面内容介绍实现的函数

//函数声明

//up整合子树信息更新当前头节点
void up(int i);
//左旋操作
int leftRotate(int i);
//右旋操作
int rightRotate(int i);
//查询当前值的排名
int getRank(int val);
//查询当前值的排名: 辅助函数
int getRank(int i,int val);
//查询排名为x的关键字
int getIndex(int x);
//查询排名为x的关键字：辅助函数
int getIndex(int i,int x);

//获取节点的前驱节点关键字
int pre(int i);
//pre的辅助函数
int pre(int i,int num);

//获取节点的后继节点关键字
int post(int i);
//post的辅助函数
int post(int i,int num);

//添加元素， 若有多个则增加词频。
void add(int val);
int add(int i,int val);

//删除元素， 若有多个则减少一个词频即可
void remove(int val);
int remove(int i,int val);

辅助函数

更新节点信息 (`up`)

//更新size,height信息。 根据孩子更新信息
void up(int i){
   
  size[i] = size[leftChild[i]]+size[rightChild[i]]+key_count[i];
  height[i] = max(height[leftChild[i]], height[rightChild[i]]) + 1;
}

功能: 根据当前节点的左右子节点信息，更新当前节点的 size 和 height。
参数: i - 当前节点编号。

左旋操作 (`leftRotate`)

左旋操作
左旋操作的理解要点是:
节点i和它右孩子的颠倒父子关系; 同时这种操作不会破坏二叉搜索树的性质;理解这过程左右树高的变化。

如下代码流程:

定义变量r, r=rightChild[i]
让r的左孩子成为i的右孩子。(i对r的单向父亲关系解除了)
让i成为r的左孩子(r对i绑定父子关系)。
i在r下面，先对下面的i整合信息更新 $u p (i)$ ，再对 $u p (r)$ 的正确。
由于原先以i节点为根的子树变成r为根节点，向上返回r为左旋后的新节点。

int leftRotate(int i){
   
  int r = rightChild[i];
  rightChild[i] = leftChild[r];
  leftChild[r] = i;
  up(i);
  up(r);
  return r;
}

功能: 对节点 i 进行左旋，保持 AVL 树的平衡。
返回值: 旋转后新的根节点编号。

右旋操作 (`rightRotate`)

右旋操作
右旋操作的理解要点和左旋操作一致。可以视作左旋的对称过程。

int rightRotate(int i){
   
  int l = leftChild[i];
  leftChild[i] = rightChild[l];
  rightChild[l] = i;
  up(i);
  up(l);
  return l;
}

功能: 对节点 i 进行右旋，保持 AVL 树的平衡。
返回值: 旋转后新的根节点编号。

维护平衡 —四种旋转方式(`maintain`)

int maintain(int i){
   
  int lh = height[leftChild[i]];
  int rh = height[rightChild[i]];
  if(lh - rh > 1){
   
    // 左子树高，需要右旋
    if(height[leftChild[leftChild[i]]] >= height[rightChild[leftChild[i]]]){
   
      i = rightRotate(i);
    } else {
   
      leftChild[i] = leftRotate(leftChild[i]);
      i = rightRotate(i);
    }
  }
  else if(rh - lh > 1){
   
    // 右子树高，需要左旋
    if(height[rightChild[rightChild[i]]] >= height[leftChild[rightChild[i]]]){
   
      i = leftRotate(i);
    } else {
   
      rightChild[i] = rightRotate(rightChild[i]);
      i = leftRotate(i);
    }
  }
  return i;
}

功能: 检查并维护节点 i 的平衡，通过旋转操作确保 AVL 树的性质。
返回值: 维护平衡后的节点编号。

主要操作函数

插入操作 (`add`)

int add(int i, int val){
   
  if(i == 0){
   
    key[++cnt] = val;
    height[cnt] = key_count[cnt] = size[cnt] = 1;
    return cnt;
  }
  if(key[i] == val){
   
    key_count[i]++;
  }
  else if(key[i] > val){
   
    leftChild[i] = add(leftChild[i], val);
  }
  else{
   
    rightChild[i] = add(rightChild[i], val);
  }
  up(i);
  return maintain(i);
}

void add(int val){
   
  head = add(head, val);
}

功能: 向 AVL 树中插入值 val。
参数:
- val - 要插入的值。
说明:
- 如果当前节点为空，则创建新节点。
- 如果值已存在，增加 key_count。
- 根据值的大小决定插入到左子树还是右子树。
- 更新节点信息并维护平衡。

删除操作 (`remove`)

int removeMostLeft(int i, int mostLeft){
   
  if(i == mostLeft){
   
    return rightChild[mostLeft];
  } else {
   
    leftChild[i] = removeMostLeft(leftChild[i], mostLeft);
    up(i);
    return maintain(i);
  }
}

int remove(int i, int val