动态规划解决数字三角形和背包问题,-优快云博客

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A.数字三角形1

传统题 1000ms 256MiB

Description

给出一个数字三角形，你从[1,1]开始出发，走到最后一行。每次站在一个点上时，可以向下走，或者向右下走。将经过的数字加起来，希望其和最大。

3 8

8 1 0

2 7 4 4

4 5 2 6 5

Format

Input

第一行给出数字N

接下来N行描述这个数字三角形，所给出的数字为100以内的正整数。

N<=100

Output

如题

Samples

输入数据 1

输出数据 1

DP模板题，快来背板子~

状态表示：d[i][j]代表从(1,1)走到(i,j)最大的数字和

状态转移：从上方转移——d[i][j]->d[i+1][j]

从左上方转移——d[i][j]->d[i+1][j+1]

都取最大值

记得考虑出界问题，把数组初值赋为0。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,v[105][105],d[105][105],ans; 
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			scanf("%d",&v[i][j]);
	d[1][1]=v[1][1];
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			d[i+1][j]=max(d[i+1][j],d[i][j]+v[i+1][j]);
			d[i+1][j+1]=max(d[i+1][j+1],d[i][j]+v[i+1][j+1]);
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=max(ans,d[n][i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;				
}

B.数字三角形4

传统题 2000ms 512MiB

Description

一个数字三角宝塔。设数字三角形中的数字为绝对值不超过1000的整数。小K从最顶层走到最底层，每一步可向下或右斜线向下走。每走过一个节点他会把这个节点的数字加在自己计数器中。另外他最多只能向下走k次。现在小K想知道他到达底层后，计数器中可能的最大的值。

Format

Input

输入数据的第1行是数字三角形的行数n和能够向下走的次数k，1<=n<=1000，0<=k<=1000。接下来n行是数字三角形各行中的数字。所有数字都小于1000。

Output

如题

Samples

输入数据 1

输出数据 1

Limitation

2s, 600*1024KiB for each test case.

A的变式

状态表示一样，但转移有限制——设一个二元方程，解出坐标(i,j)与向下次数的关系

坑点：数字可能为负，初始把数组全设为负无穷才行

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k,v[1005][1005],d[1005][1005],ans=INT_MIN; 
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			scanf("%d",&v[i][j]);	
	memset(d,-127,sizeof(d));//极小值		
	d[1][1]=v[1][1];
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
		{
			d[i+1][j+1]=max(d[i][j]+v[i+1][j+1],d[i+1][j+1]);
			if(i-j<=k-1)
				d[i+1][j]=max(d[i][j]+v[i+1][j],d[i+1][j]); 
		}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans=max(ans,d[n][i]);
	printf("%d",ans);		
	return 0;				
}

C.背包

传统题 1000ms 512MiB

Description

有 N 件物品和一个容量为 V 的背包。放入第 i 件物品耗费的空间是 C i ，得到的价值是 W i 。求解在不超过容量的前提下，将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

Format

Input

第 1 行两个正整数，分别表示 N 和 V，中间用一个空格隔开。

第 2 行 N 个正整数，表示 C i ，中间用一个空格隔开。

第 3 行 N 个正整数，表示 W i ，中间用一个空格隔开。

其中：1≤N≤100，1≤V≤10^6 ，1≤C i ≤10000，1≤W i ≤10000。

Output

一行一个正整数，表示最大的价值总和。

Samples

输入数据 1

4 20
8 9 5 2
5 6 7 3

输出数据 1

先看一个自画样例

以层数为划分依据

每向下一层转移，有选用和不选用该数字两种情况

状态表示：d[i][j]代表讨论到第i个数字，最多使用j空间，所获最大价值

状态转移：不选用当前数字：d[i][j]->d[i+1][j]

选用当前数字：d[i][j]->d[i+1][j+c[i+1]

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,v,d[105][1000005],ans;
struct inf
{
	int c,w;
}item[105];
int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&v);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&item[i].c);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&item[i].w);	
	for(int i=0;i<=n-1;i++)
		for(int j=0;j<=v;j++)
		{
			d[i+1][j]=max(d[i+1][j],d[i][j]);//不取用第i+1件物品 
			if(j+item[i+1].c<=v)
					d[i+1][j+item[i+1].c]=max(d[i+1][j+item[i+1].c],d[i][j]+item[i+1].w);//取用第i+1件物品 
		}
	for(int i=1;i<=v;i++)
		ans=max(ans,d[n][i]);
	printf("%d",ans);		
	return 0;					
}

再看一个不同写法~~，虽然不带权值~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,v;
int a[31];bool f[31][20001];
int main(){
	memset(f,false,sizeof(f));
	f[0][0]=true;
	cin>>v>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)	cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=0;j<=v;j++)//这个一定要枚举到v,不然上一行许多状态枚举不到
	if (f[i-1][j]==true)
	{
		f[i][j]=true;
		if (j+a[i]<=v)
  		f[i][j+a[i]]=true;
	
		
	}
	int ans=v;
	while(f[n][ans]==0)
	ans--;
	cout<<v-ans;
        return 0;
}