数论基础(超详细）

素数与埃氏筛选法

筛法解决的问题主要是筛选出一类具体特殊性质的数。范围通常是 [1,𝑛]。

最经典的问题就是筛选素数。

素数：即其因数只有 1 和其本身的数。特殊的，1 不是素数。

埃拉托斯特尼筛法，是一类十分简单，并且好理解的筛法。

采用一种从小到大的过程，对于整数 x，我们将区间内的所有的 𝑥 的倍数都标记为合数（非素数）即可。

具体的流程，我们从 22 开始循环，如果当前数 𝑥x没有被标记。那么当前数一定是素数，否则是合数，然后我们依次枚举 x 的倍数 2𝑥,3𝑥,4𝑥...，并且将其标记。然后继续循环即可。

模板代码

vector<ll>v1;   //存放素数 
bool  vis_v1[N];  //标记素数 
void  era(ll n)
{
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		vis_v1[i]=true;        //初始化标记 
	}
	for(ll i=2;i<=n;i++)
	{
		if(vis_v1[i])
		v1.push_back(i);     //没被标记代表是素数 加入数组 
		for(ll j=i+i;j<=n;j+=i)
		{
			vis_v1[j]=false;     //做标记 
		}
	}
}

真题演练

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=1e7;
ll n;
vector<ll>v1;   //存放素数 
bool  vis_v1[N];  //标记素数 
void  era(ll n)
{
	for(ll i=1;i<=n;i++)
	{
		vis_v1[i]=true;        //初始化标记 
	}
	for(ll i=2;i<=n;i++)
	{
		if(vis_v1[i])
		v1.push_back(i);     //没被标记代表是素数 加入数组 
		for(ll j=i+i;j<=n;j+=i)
		{
			vis_v1[j]=false;     //做标记 
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>n;
	era(n);
cout<<v1[1e5+1]<<endl;
	return 0;
}

整数分解

最大公约数-gcd

真题演练

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef  long long ll;
int t; 
ll  gcd(ll a,ll b)
{
    ll t=max(a,b);
    ll k=min(a,b);
    a=t;
    b=k;
    while(b!=0)
    {
    	int r=a%b;
    	a=b;
    	b=r;
	}
	return a;  //a即为所求最大公约数 	 
}
int main()
{
	ll a,b;
	cin>>t;

	while(t--)
	{
		cin>>a>>b;
		cout<<gcd(a,b)<<endl;
	}
	
	return 0;
}