前缀和算法

前缀和可以快速求出数组中某个连续区间的和

1. 预处理出来一个前缀和数组

为了处理边界情况,下标从1开始

dp[i]表示原数组[ 1 , i ]区间内所有元素之和
dp[i]=dp[i-1]+原数组[i]

2. 使用前缀和数组

【模板】前缀和

算法思路：

1. 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：

设前缀和数组为dp
dp[i] 表示： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] 里面存的就是 [1, i - 1] 区间内所有元素的和，那么可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；

2. 使用前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：

当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[ l - 1] 。

import java.util.Scanner;

// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
   
    public static void main(String[] args) {
   
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        //1.读入数据
        int n = in.nextInt(), q = in.nextInt();
        int[] arr = new int[n+1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = in.nextInt();

        //2.预处理一个前缀和数组
        long[] dp = new long[n+1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i] = dp[i-1] + arr[i];

        //3.使用前缀和数组
        while(q > 0) {
   
            int l = in.nextInt(), r = in.nextInt();
            System.out.println(dp[r]-dp[l-1]);
            q--;
        }
    }
}

【模板】二维前缀和

算法思路：
类比于⼀维数组，我们处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这片区域内所有元素的累加和。

1. 预处理出来⼀个前缀和矩阵

下标直接从 1 开始

2. 前缀和矩阵中 dp[i][j] 的含义，以及如何递推二维前缀和方程

dp[i][j] 表示，从 [1, 1] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和
递推方程：
我们可以将 [1, 1] 位置到 [i, j]位置这段区域分解成下面的部分：

整个面积 = A+B+C+D = (A+B) + (A+C) + D - A = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] + arr[i][j] - dp[i-1][j-1]
接下来分析如何使用这个前缀和矩阵
我们要求的就是A的面积:
A = 整个面积 - （C + D）- （B + D）+ D = dp[x2][y2] - dp[x1-1][y2] - dp[x2][y1-1] + dp[x1-1][y1-1]

import java.util.Scanner;

// 注意类名必须为 Main, 不要有任何 package xxx 信息
public class Main {
   
    public static void main(String[] args) {
   
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        //1.读入数据
        int n = in.nextInt(), m = in.nextInt(), q = in.nextInt();
        int[][] arr = new int[n+1][m+1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
   
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
   
                arr[i][j] = in.nextInt();
            }
        }
        
        //2.预处理一个前缀和矩阵
        long[][] dp = new long[n+1][m+1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
   
            for(int j = 1; j <= m; j++) {
   
                dp[i][j] = dp[i-1