二叉树及其练习题

树概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i m<= m)又是一棵子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的。
• 一棵n个结点的树有n-1条边

注意：树形结构中，子树之间不能有交集,除了根结点外每个结点有且仅有一个父结点，否则就不是树形结构

树的相关概念

• 结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为6
• 树的度：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为6
• 叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶结点
• 双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父结点
• 孩子结点或子结点：若一个结点含有父结点，则这个结点称为其父结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
• 根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A
• 结点的层次：从根开始，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推
• 树的深度：树从根结点开始往下数，叶子结点所在的最大层数,也就是树中结点的最大层次； 如上图：树的深度为4
• 树的高度:深度定义是从上往下的，高度定义是从下往上的。（其实不用在意这个，反正树的深度高度怎么数都一样的）。可以看这篇
• 非终端结点或分支结点：度不为0的结点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支结点
• 兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：B、C是兄弟结点
• 堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点
• 结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：A是所有结点的祖先
• 子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树组成的集合称为森林

树的表示形式

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法、孩子兄弟表示法等等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

class Node {
   
	int value; // 树中存储的数据
	Node firstChild; // 第一个孩子引用
	Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

树的应用

文件系统管理（目录和文件）

二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1. 或者为空
2. 或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

两种特殊的二叉树

1. 满二叉树: 一棵二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一棵二叉树的层数为K，且结点总数是$2^k$-1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树: 完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。从上到下,从左向右依次存储。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
   

二叉树的性质

1. 若规定根结点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有$2^{i-1}$(i>0)个结点
2. 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为K的二叉树的最大结点数是$2^k-1$ (k>=0)
3. 对任何一棵二叉树, 如果其叶结点个数为 $n_0$, 度为2的非叶结点个数为 $n_2$,则有$n_0$＝$n_2$＋1,也就是度为0的结点永远比度为2的结点多一个

设度为1的非叶结点个数为n1

• 一棵n个结点的树有n-1条边($n_1$+2$n_2$ = n-1)
• $n_0$+$n_1$+$n_2$=n
  
  得出$n_0$=$n_2$+1

4. 具有n个结点的完全二叉树的深度k为$lo{g}_2(n+1)$向上取整
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，父结点序号：(i-1)/2；i=0,则i为根结点编号，无父结点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2

练习题

1.某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

$n_0$=$n_2$+1=200,选B

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

• 2n=$n_0$+$n_1$+$n_2$
• $n_1$=1
• $n_0$＝$n_2$＋1

所以$n_0$=n,选A

3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386

• 767=$n_0$+$n_2$
• $n_0$＝ n 2 n_2 n2</