用matlab实现floyd算法

此为学习了数学建模清风老师课程后的学习笔记。

一、基础知识

1.1 floyd算法实现的目的

        floyd算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以处理带负权重的有向图和无向图（但不可以存在负权回路）的最短路径问题。

1.2 算法特点

       与迪杰斯特拉算法和贝尔曼福特算法相比，可以一次性给出任意两点之间的最短路径，而后两种算法一次只能给出给定的起点和重点的最短路径。

1.3 算法基本思想

i为起点，j为终点，Dmin（i，j）表示从i到j的最短路径的距离

若k位于i到j的最短路径之中，则有Dmin（i，j）= Dmin（i，k）+ Dmin（k，j）

若k不位于i到j的最短路径之中，则有Dmin（i，j）<Dmin（i，k）+ Dmin（k，j）

假如有八个样本点，现在要从点1走到点8,最短路径为1-->3-->4-->8。

如果某个节点（例如点3）位于起点1到终点8的最短路径上，用Dmin（i，j）表示从i到j的最短路径的距离，则有：

Dmin（1,8）= Dmin（1,3）+ Dmin（3,8）

如果某个节点（例如点5）不位于起点1到终点8的最短路径上，则有：

Dmin（1,8）< Dmin（1,5）+ Dmin（5,8）

1.4算法核心步骤

三层循环。这里理解为：由于要一次性给出任意两点之间的最短距离，假设有n个样本点，所以每一个样本点都要当一次起点 i 、终点 j 和中间点 k 。

二、代码部分

2.1 思路

2.1.1 定义函数

function[dist,path] = Floyd（D）

输入量：D：权重邻接矩阵（n*n）

输出量：dist：最短距离矩阵（n*n）

              path：记录最短路径的矩阵（n*n）

2.1.2 初始化

初始化 dist，那么dist应该为最初任意两点间的距离构成的矩阵，即为D。

初始化 path，行代表起点，列代表终点，path（i，j）可以代表每一步的终点。

2.1.3 三次循环

进行三次循环，求出任意两点间的最短距离和路径。

2.2 代码

function[dist,path] = Floyd(D)
%%函数功能：实现Floyd算法
%输入量：D：权重邻接矩阵（n*n）

%输出量：dist：最短距离矩阵（n*n）
%       path：记录最短路径的矩阵（n*n）

%%初始化
dist = D;

n = size(D,1);
path = zeros(n);
for j=1:n
    path(:,j) = j; %初始路径都为起点到终点，第j列都为j
end
for i=1:n
    path(i,i) = -1; %对角线的路径记为-1
end

%%三次循环
for k = 1:n
    for i = 1:n
        for j = 1:n
            if dist(i,j) > dist(i,k) + dist(k,j)
                dist(i,j) = dist(i,k) + dist(k,j);
                path(i,j) = path(i,k); %这里不能写path（i，j）=k，因为path（i,k）也会随着循环更行
            end
        end
    end
end

end

三、运行结果展示

3.1 举例

拿以下有向图做示范：

3.1.1 主代码部分

%将图转化成权重邻接矩阵
n = 5;
D = ones(n)./zeros(n); %初始化任意两点间的距离都为无穷
for i = 1:n 
    D(i,i) = 0; %对角线上的元素为0
end

%将图上的权重输入对应位置
D(1,2) = 3;
D(1,3) = 8;
D(1,5) = -4;
D(2,5) = 7;
D(2,4) = 1;
D(3,2) = 4;
D(4,3) = -5;
D(5,4) = 6;
D(4,1) = 2;

[dist,path] = Floyd(D);

disp('最短距离矩阵为：')
disp(dist)
disp('path矩阵为：')
disp(path)

3.1.2运行结果

3.1.3 如何看path矩阵

起点为3，终点为1的最短路径为：3-->2-->4-->1

把path矩阵的行1,2,3,4,5代表起点，列1,2,3,4,5代表终点，要从起点3到终点1，

先找到path(3,1) = 2,可以理解成从起点3走到了2，接下来要从2向1前进；

继续找到path（2,1）= 4，理解成从2走到了4，接下来从4向1前进；

找到path（4,1）= 1，意味着我们已经到达终点1。