数的计数问题（递归，递推，记忆化）

题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的自然数n)。

先输入一个自然数 n (n≤1000)，然后对此自然数按照如下方法进行处理：
1· 不作任何处理；
2. 在它的左边加上一个自然数，但该自然数不能超过原数的一半；
3. 加上数后，继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止。

输入

自然数n

输出

满足条件的数的个数

样例输入

6

样例输出

6

提示

样例的六个满足条件的数是6、16、26、126、36、136

解决方法

1.直接递归

但是这样只能通过90%的测试用例，当n=999时，就会时间超限。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans=1;

int jishu(int n){
	for (int i=1;i<=n/2;i++){
		ans++;
		jishu(i);
	}

	return ans;
}

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	cout<<jishu(n);

	return 0;
}

2.优化

递推求解，这样就快很多了。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans[1005];

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		ans[i]=1;
		for (int j=1;j<=i/2;j++){
			ans[i]+=ans[j];
		}
	}
	cout<<ans[n];

	return 0;
}

3.记忆化

#include<iostream>
using namespace std;
int h[1001];
void dfs(int m)
{
    int i;
    if (h[m] != -1) return;         //说明前面已经求得h[m]的值，直接引用即可，不需要再递归。提升速度的重点
    h[m] = 1;                           //将h[m]置为1，表示m本身为一种情况
    for (i = 1; i <= m/2; i++)
    {
        dfs(i);                       //所有递归之后可得到h[i]
        h[m] += h[i];
    }   
}
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
      h[i] = -1;                         //h数组初始化为-1
    dfs(n);                              //由顶到下记忆化递归求解
    cout << h[n];   
    return 0;
}

这种方法转自大神：https://blog.youkuaiyun.com/sinat_34943123/article/details/51435658