一个隐藏的bfs搜索

...还是要加油啊...

通常，我们用bfs来解决最短路径问题。一般与图联合出现。但是，bfs，dfs也可以用来解决数学中的问题。

例如下面这题：

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问题 L: 寻找倍数

时间限制: 2.000 Sec  内存限制: 512 MB
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题目描述

给定一个正整数n，编写一个程序来找出n的一个非零倍数m，其十进制表示仅包含数字0和1。你可以假设n不大于998，并且存在一个相应的m，其十进制位数不超过100位。

输入

输入包含多个测试用例。每行包含一个n的值（1 <= n <= 998），遇到0输入结束。

输出

对于输入中的每个n值，打印一行包含对应的最小的m的值。

样例输入 Copy

2
6
19
0

样例输出 Copy

10
1110
11001

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这题我一开始看，就以为是个抽象的数论问题，就给跳了...（下次再也不了www）不过，细想这题的状态，每个结果都只能由 0 1 构成，那不就是，每个数在之前的前提下，×10或×10+1 嘛？这样一来，前后推导关系就出来了，自然就好想了。

但还有一个问题，就是这个“不超过100位”。我们肯定不能用long long来存储每次的结果，那自然要用到字符串。但高精度除法又太麻烦...这时我们注意到，这题只要判断 是否能整除 即可，那么，余数的性质能很好的满足这一点。例如，求一个10000位的字符串a整除数b的余数，程序可以写成：

string a;
int b;
int t=0;
for(auto i:a){
    t=(t+(i-'0')*10)%b;
}
//t即为要求的余数。

那么，我们就可以将程序写成：

#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
int n;
void bfs(){
    queue<string>a;
    a.push("1");
    while(!a.empty()){
        string num=a.front();a.pop();
        int t=0;
        for(auto g:num){
            t=(t*10+g-'0')%n;
        }
        if(t==0){
            cout<<num<<'\n';
            return ;
        }else{
            a.push(num+'0');
            a.push(num+'1');
        }
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n),n){
        bfs();
    }
    return 0;
} 

这样写自然是可以过的，不过如果不开o3优化，就会TLE。那么，如何优化呢？

我们平常写bfs的时候，其实都会判断此时用到的数是否走过，走过就不走。那么这题也是这个道理。可以用一个 unordered_set来存储每个用过的余数，用其count（）函数来判断此时的字符串是否重复。

代码如下：

#include<iostream>
#include<queue>
#include<unordered_set>
using namespace std;
int n;
void bfs(){
    queue<string>a;
    unordered_set<int>u;
    a.push("1");
    while(!a.empty()){
        string num=a.front();a.pop();
        int t=0;
        for(auto g:num){
            t=(t*10+g-'0')%n;
        }
        if(t==0){
            cout<<num<<'\n';
            return ;
        }else if(!u.count(t)){
            a.push(num+'0');
            a.push(num+'1');
            u.insert(t);
        }
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&n),n){
        bfs();
    }
    return 0;
} 

其中，为什么要判断每个 余数 是否用过呢？因为两个余数相同的数 经过相同的变换 余数仍相同。

下面粘自AI：

如果两个数在被m除时的余数相同，‌那么无论我们对这两个数进行何种相同的运算或变化，‌它们在被m除时的余数仍然相同。‌这表明同余关系在数学运算中具有稳定性，‌确保了余数相同的两个数经历相同变化后余数依然相同。‌

综上所述，其实我觉得本题的核心点是想到 每个状态可以再往下分为两个状态 ，进而想到bfs算法。