动态规划-树形DP

前面几天做了动态规划的背包问题，感兴趣的小伙伴们可以去看看前几次的文章。今天我们就来做关于动态规划的树形DP问题。

1.

题目描述

蓝桥公司一共有 n名员工，编号分别为 1∼n。

他们之间的关系就像一棵以董事长为根的树，父节点就是子节点的直接上司。

每个员工有一个快乐指数 ai。

现蓝桥董事会决定举办一场蓝桥舞会来让员工们在工作之余享受美好时光，不过对于每个员工，他们都不愿意与自己的直接上司一起参会。

董事会希望舞会的所有参会员工的快乐指数总和最大，请你求出这个最大值。

输入描述

输入的第一行是一个整数 n，表示蓝桥公司的员工数。

第二行包含 n 个整数，分别表示第 i个员工的快乐指数 ai。

接下来 n−1 行每行包含两个整数 u,v表示 v 是 u的直接上司。

1≤u,v,ai≤n≤105

输出描述

输出一个整数，表示答案。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+3;
using ll=long long;
ll dp[N][2];
int a[N];
vector<int>g[N];
void dfs(int x){
  dp[x][1]=a[x];
  for(const auto y:g[x]){
    dfs(y);
    dp[x][0]+=max(dp[y][0],dp[y][1]);
    dp[x][1]+=dp[y][0];
  }
}
int main(){
int n;
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++){
  cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<n;i++){
  int u,v;
  cin>>u>>v;
  g[v].push_back(u);
}
dfs(1);
cout<<max(dp[1][1],dp[1][0]);
   return 0;
}

这道题是典型的用树形dp的思想去解决问题，可以把它作为树形dp的第一种题型去理解，因为这里输入的就是父节点，所以不用判断子父节点，关键是理解dfs里面对于节点之间关系的变化。

2.

题目描述

对于一棵多叉树，我们可以通过 “左孩子右兄弟” 表示法，将其转化成一棵二叉树。

如果我们认为每个结点的子结点是无序的，那么得到的二叉树可能不唯一。

换句话说，每个结点可以选任意子结点作为左孩子，并按任意顺序连接右兄弟。

给定一棵包含 N​​ 个结点的多叉树，结点从 1至 N编号，其中 1 号结点是根，每个结点的父结点的编号比自己的编号小。

请你计算其通过 “左孩子右兄弟” 表示法转化成的二叉树，高度最高是多少。

注：只有根结点这一个结点的树高度为 00。

输入描述

输入的第一行包含一个整数 N​​​。 以下 N−1 行，每行包含一个整数，依次表示 2 至 N 号结点的父结点编号。

输出描述

输出一个整数表示答案。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+6;
int dp[N],dep[N];
vector<int>g[N];
void dfs(int x){
  for(const auto y:g[x]){
    dfs(y);
  dp[x]=max(dp[x],(int)g[x].size()+dp[y]);
  }
}
int main()
{
  int n;
  cin>>n;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    int x;cin>>x;
    g[x].push_back(i);
  }
dfs(1);
cout<<dp[1]<<endl;
  return 0;
}

这是一道蓝桥真题，这道题的关键是要理解dp[x]=max(dp[x],(int)g[x].size()+dp[y])这一步的原理，要把除根节点以外孩子多的节点尽可能地放到后面处理。

3.

问题描述

给定 N个结点以及 N−1条边的树，你可以选择树中任意两点连成一条边形成一个环，对于所有的连接方式，请问形成环内包含的结点数次大值可以为多少？

注：这里的次大值为严格意义上的次大值。

输入格式

第一行输入一个正整数 N。

接下来 N−1行，每行输入 2 个正整数 a和 b，代表 a 结点与 b结点有一条无向边。

输出格式

输出一个整数，表示环内包含的次大节点数。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+6;
int dp[N],dep[N];
vector<int>g[N];
void dfs(int x,int fa){
  dep[x]=1;
  for(const auto y:g[x]){
    if(y==fa)continue;
    dfs(y,x);
    dp[x]=max(dp[x],dep[x]+dep[y]);
    dep[x]=max(dep[x],dep[y]+1);
  }
}
int main()
{
  int n;cin>>n;
  for(int i=1;i<n;i++){
    int u,v;
    cin>>u>>v;
    g[u].push_back(v),g[v].push_back(u);
  }
  dfs(1,0);
  int ans=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    ans=max(ans,dp[i]);
  }
  cout<<ans-1<<endl;
  return 0;
}

这道题也可以当作树的区间动态规划的模版题，对于以某个节点为根求解某个环内所包含的节点个数，注意要理解个数与以某个节点深度之间的关系。

这就是今天关于树形DP动态规划的问题，大家可以把这些题当作模版题去记忆。