离散数学易错总结

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已于 2025-04-02 23:19:03 修改

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于 2025-03-14 20:26:44 首次发布

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离散数学

除非A，才B
度娘解释：除非即 只有A，才B
A，否则B
度娘解释：否则即 如果不是A这样，就B

答案里第一种是首先把这句话分为两句话了，再去合取，得到最后结果；第二种是直接翻译“否则”，也就是按照度娘解释；第三种没必要理解，遇到多选题就自己推一下就好（因为我理解不了喵。）
除非…否则…
"否则"后面的内容是一般情况，"除非"后面的内容是唯一特殊情况。简单来说就是这两个情况是对立关系，非A则B。
符号化为： ${\neg A \rightarrow B, \neg B \rightarrow A }$

——每次都有唯一一个值能让整个式子和这个值一样
具体来说就是： $\vee ... = 1;\ 0\ \wedge ... = 0}$

在这里插入图片描述

${\forall x\ / \ \exists x+ ()}$ 也就意味着x这个变元的作用域在整个括号里。如果括号里的表达式中的函数参数没有x，那么x就是自由变元，反之，是约束变元。
在这里插入图片描述

${\forall\ + \rightarrow ; \ \exists\ +\ \wedge}$
在这里插入图片描述

等值关系式： ${\exists}$ 和 ${\vee}$ ， ${\forall}$ 和 ${\wedge}$
即 ${\exists x(A(x)\vee B(x)) \Harr \exists xA(x)\vee \exists xB(x) }$ ， ${\forall x(A(x)\wedge B(x)) \Harr \forall xA(x)\wedge \forall xB(x) }$
重言蕴含式： ${\wedge}$ 去括号， ${\vee}$ 加括号
即 ${\exists x(A(x)\wedge B(x)) \Rarr \exists xA(x)\wedge \exists xB(x) }$ ， ${\forall xA(x)\vee \forall xB(x) \Rarr \forall x(A(x)\vee B(x)) }$
推导关系：不是等值关系式，看情况自己分辨是不是重言蕴含式

在这里插入图片描述

选项 A 反例：

设集合 ${\{x_1, x_2\}}$ ，定义 ${P(x)}$ 和 ${Q(x)}$ ：
- ${P(x_1) = \text{True}, P(x_2) = \text{False}}$
- ${Q(x_1) = \text{False}, Q(x_2) = \text{True}}$
则：
- ${\forall x (P(x) \lor Q(x)) = \forall x (\text{True} \lor \text{True}) = \text{True}}$
  （即对所有 (x)，(P(x)) 或 (Q(x)) 至少有一个成立）
- 但：
  - ${\forall x P(x) = \text{False}}$ （因为 (x_2) 使 (P(x)) 失败）
  - ${\forall x Q(x) = \text{False}}$ （因为 (x_1) 使 (Q(x)) 失败）
  - 所以 ${\forall x P(x) \lor \forall x Q(x) = \text{False} \lor \text{False} = \text{False}}$

选项 C 反例：

逻辑展开：
- ${\forall x (P(x) \rightarrow Q)}$ 展开为： ${\forall x (\neg P(x) \lor Q)}$
  即：对所有 ${x}$ ， ${P(x)}$ 不成立或 ${Q}$ 为真（只要 ${Q}$ 为真，整个式子一定成立）。
- ${\forall x P(x) \rightarrow Q}$ 展开为： ${\neg \forall x P(x) \lor Q}$
  即：如果对所有 ${x}$ 都有 ${P(x)}$ 为真，则 ${Q}$ 必须为真。
反例：
- 设 ${P(x)}$ 是“ ${x}$ 是人”， ${Q}$ 是“太阳从西边升起”（假命题）。
- ${\forall x (P(x) \rightarrow Q)}$ ：
  - 因为 $\rightarrow Q}$ 逻辑上等价于 ${\neg P(x) \lor Q}$ ，如果 ${Q}$ 为假，只要 ${P(x)}$ 也是假，整个命题就为真。
  - 但 ${\forall x P(x) \rightarrow Q}$ 需要所有 ${x}$ 满足 ${P(x)}$ 时 ${Q}$ 为真，显然不成立。
    选项 D 反例：
逻辑展开：
- ${\exists x (P(x) \rightarrow Q)}$ 展开为： ${\exists x (\neg P(x) \lor Q}$
  也就是说，存在某个 ${x}$ 使得 ${P(x)}$ 不成立，或者 ${Q}$ 为真。
- ${\exists x P(x) \rightarrow Q}$ 展开为： ${\neg \exists x P(x) \lor Q}$
  也就是说，如果存在某个 ${x}$ 使 ${P(x)}$ 成立，那么 ${Q}$ 必须为真。
反例：
- 设 ${P(x)}$ 为“ ${x}$ 是一个学生”， ${Q}$ 为“今天下雨”。
- 如果 ${Q}$ 为假：
  - ${\exists x P(x) \rightarrow Q}$ 仍可能为真（因为可以找到某个 ${x}$ 使 ${P(x)}$ 为假）。
  - 但 ${\exists x P(x) \rightarrow Q}$ 需要只要有一个学生存在，就得保证 ${Q}$ 为真。