【模板】01背包与完全背包

背包套路

最大分成两步骤：1.状态表示  2. 状态计算

1.状态表示

状态表示从两个角度来思考 ：（1）集合 （2） 属性

（1）集合 ： 满足某中条件下的所有选法的集合

（2）属性：最大值 / 最小值 / 数量

2.状态计算：

所谓状态计算就是集合的划分，满足两种原则：（1）不重 （2）不漏

对与求最大值和最小值的问题可以重复，但是求方案数量的时候不能重复

---

01背包

每件物品最多只能选一次(也可以不选）

思路：

状态表示: f[ i ] [ j ]

（1）集合：只从前i个物品当中选，并且总体积不超过 j 的所有选法

（2) 属性： 所有选法当中的最大价值（MAX)

状态计算：

（1) f[i - 1][j] : 不包含第 i 个物品的最大价值

（2) f[i - 1][j - v[i]] + w[i]: 包含第 i 个物品的最大价值

二维状态下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j <= m; j++){
            f[i][j] = f[i-1][j];
            if(j >= v[i])    //还能装的下的情况下
             f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[n][m];        //前n个物品中，体积不超过m的最大价值
    
    return 0;
}

优化过程

for(int i = 1; i <= n; i++){
  for(int j = v[i]; j <= m; j++){  //j是从小到大进行枚举的

    f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);

   在这一步骤当中，j - v[i] 是严格小于 j 的,
   因此枚举到j 之前j - v[i] 会被先更新掉,
   这样会影响后续的答案

  相当于 f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]] + w[i]),这个方程与原来的方程不一样
  } 
}
-------------------------------------------------------

解决方法： 我们只要把 j 从大到小枚举即可

for(int i = 1; i <= n; i++){
 for(int j = m; j >= v[i]; j--){
   f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
  }
}

一维状态下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = m; j >= v[i]; j--){
            f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
        }
    }
    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}

---

完全背包

每件物品可以选无限次

思路：

朴素做法

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main(){
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j <= m; j++){
            for(int k = 0; k *v[i] <= j ; k++){
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

方程的优化过程：

二维状态下进行优化： 

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 0; j <= m; j++){
            f[i][j] = f[i - 1][j];
             if(j >= v[i]) 
             f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j - v[i]] + w[i]);
        }
    }

    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

优化过程：

01背包：  f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i - 1][j] - v[i]] + w[i]);

完全背包：f[i][j] = max(f[i - 1][j] , f[i][j -v[i]] + w[i]);

 经过观察，我们很容易看出完全背包与01 背包的差距在于，f[i][j - v[i]] + w[i] 这一部分。

 这就刚好于上面分析过的 01背包相反，完全背包恰好用到的是同一层，因此 j 从小到大枚举即可

一维状态下：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> v[i] >> w[i];

   for(int i = 1; i <= n; i++){
       for(int j = v[i]; j <= m; j++){
           f[j] = max(f[j],f[j - v[i]] + w[i]);
       }
   }

    cout << f[m] << endl;
    return 0;
}