【Java 优选算法】前缀和(下)

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和为K的子数组

题目链接

解法

该题存在0 和负数,且不具备单调性,所以不可以使用双指针解决

解法1: 暴力枚举O(n^2): 从0下标开始枚举加和,判断和是否为k,且要一直遍历到数组结束,因为存在0和负数

解法2: 前缀和 + 哈希表: 

将问题转化为 : 讨论以 i 位置结尾的所有子数组 ,在[0, i - 1]区间内,有多少个前缀和等于sum[i] - k, smu[i] 表示数组在i 位置的前缀和

利用哈希表统计:<int, int> ,第一个int用于统计前缀和,第二个int用于统计其出现的次数

细节问题:

1. 前缀和加入哈希表的时机: 在计算i 位置之前,哈希表里面只保存[0, i - 1] 位置的前缀和
2. 不用真的创建一个前缀和数组,用一个变量sum来标记前一个位置的前缀和即可
3. 考虑整个前缀和等于k的情况, 将hash<0, 1>提前丢入哈希表里面

画图举例

代码

class Solution {
    public int subarraySum(int[] nums, int k) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        hash.put(0, 1);
        int sum = 0, ret = 0;
        for(int x : nums){
            sum += x; //计算当前位置的前缀和
            ret += hash.getOrDefault(sum - k, 0);//统计结果
            hash.put(sum, hash.getOrDefault(sum, 0) + 1);//把当前的前缀和丢到哈希表里面
        }
        return ret;
    }
}

和可被K整除的子数组

题目链接

解法

补充知识: 

同余定理: 如果(a - b) ÷ p=k.....0 则a%p = b%p

因为在c++ 或java中,有 负数 % 正数 = 负数 -> 所以要修正结果(将负数修正为正数): a % p + p,为了让正负通一 ,则使用(a % p + p) % p , 即将原来a 变为a % p + p

 解法: 前缀和 + 哈希表

在[0, i - 1]区间内,找到有多少个前缀和的余数等于(sum % k + k) % k

利用哈希表统计:<int, int> ,第一个int用于统计前缀和的余数,第二个int用于统计其出现的次数

代码

class Solution {
    public int subarraysDivByK(int[] nums, int k) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        hash.put(0 % k, 1);
        int sum = 0, ret = 0;
        for(int x : nums){
            sum += x;//计算当前位置前缀和
            int r = (sum % k + k) % k;
            ret += hash.getOrDefault(r, 0);//统计结果
            hash.put(r, hash.getOrDefault(r, 0) + 1);
        }
        return ret;
    }
}

连续数组

题目链接

解法

题目给的是二进制数组只有0和1,要求找到最长的数组,该数组中的0和1的数目相等,我们可以将问题转化为: 把所有的0 修改为-1,在数组中,找出最长的子数组,使子数组中所有的元素的和为0

解法: 前缀和 + 哈希表

细节问题: 

1. hash<int, int> hash表,第一个int存的是前缀和, 第二个int 存的是其下标
2. 存入哈希表的时机: 使用完之后丢入哈希表
3. 如有重复的<sum, i> ,只保留前面的那一对<sum, i>
4. 默认的前缀和为0的情况, hash[0] = -1;
5. 长度计算: i - j

代码

class Solution {
    public int findMaxLength(int[] nums) {
        Map<Integer, Integer> hash = new HashMap<>();
        hash.put(0, -1);//默认存在一个前缀和为0的情况

        int sum = 0, ret = 0;
        for(int i = 0; i < nums.length; i++){
            sum += (nums[i] == 0 ? -1 : 1);//计算当前位置的前缀和
            if(hash.containsKey(sum)) ret = Math.max(ret, i - hash.get(sum));
            else hash.put(sum, i);
        } 
        return ret;
    }
}

矩阵区域和

题目链接

解法

理解题意,要求的是数组中mat[i][j]向周围扩展k个单位的数组之和,超出数组范围的不考虑

利用二维前缀和, 先列出前缀和的公式

代码

class Solution {
    public int[][] matrixBlockSum(int[][] mat, int k) {
        int m = mat.length, n = mat[0].length;

        //预处理前缀和矩阵
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 1; j <= n; j++){
                dp[i][j] =dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
            }
        }
        //使用
        int[][] ret = new int[m][n];
        for(int i = 0; i < m; i++){
            for(int j = 0; j < n; j++){
                int x1 = Math.max(0, i - k) + 1, y1 = Math.max(0, j - k) + 1;
                int x2 = Math.min(m - 1, i + k) + 1, y2 = Math.min(n - 1, j + k) + 1;
                ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
            }
        }
            return ret;

    }
}