AVL搜索树-优快云博客

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声明：AVL树是以搜索二叉树为基础的树，读者看之前需要掌握相关的知识（搜索二叉树）、

搜索二叉树不足

搜索二叉树的因为树的结构不稳定，导致它的速度不能稳定维持在O(logN)级别，大多情况是O(N）级别。解决的办法也很简单，就是在插入的时候通过一些操作保证树的高度差尽量保证0到1之间。这样就有了稳定的O（logN）级别的速度。

对此，出现了两种常见的处理方案来完成这种操作。一是AVL树，通过平衡因子来控制检测树的左右高度差，并通过旋转来保持高度差在1以内；而是红黑树，通过红黑染色和旋转来保持高度差。

本博客仅先讲解AVL树，红黑树的讲解且看红黑树博客。

AVL树的插入

AVL树本质上还是搜索二叉树，只是在插入的基础上对节点做出一些操作保证平衡性。

平衡因子

那么AVL树是怎么检测平不平衡呢？就要用到平衡因子，每个节点都有一个平衡因子，它是当前节点的右子树的高度减去左子树的高度差值。

这里用bf（balance factor）表示平衡因子。

那么bf范围应该是多少呢？是否可以是任何值呢？

答案肯定不可以是任何值。因为AVL树的高度差是小于1的，那么bf的范围只能在[-1,1]的范围波动

bf=0 左右子树高度相等 bf=-1左子树比右子树高度大一 bf=1 右子树比左子树大一

当然有特殊情况，就是插入的时候，我们某个节点的一边会多增加一个节点，导致层数的增加，如果刚好加到高的那一边，那么就会出现bf=2或者bf=-2的情况，此时就要用到我们上面提到的旋转。

那么这样一分析，我们插入的过程就知道了，现是正常让一个值插入到节点里面，然后就要从这个节点往上更新。

插入时平衡因子的更新

为何从这个节点往上更新呢？因为插入的值始终是作为叶子节点插入的。此时这个插入的节点就可以把它的bf设为0，然后往上面更新。

既然往上更新，那么就不能用简单的搜索二叉树那样只用左右节点，还要有父节点指针。

那么我们的AVL树的节点类就可以定义出来了：

我们继续说平衡因子的更新

我们往上更新，如果上来的是父节点的左节点，那么bf就要-1，反之+1，这个不难理解

平衡因子往上更新停止的条件

那么我们一直往上更新，什么时候停止呢？是否每次都是更新到了root节点才停止呢?

答案是否定的。

当一个节点更新后bf=0，说明之前是左右有高度差，而现在平了，那么这个节点往下的最大高度是没有变化的，因此bf=0时就可以停止往上更新平衡因子了。
当一个节点更新后|bf|=1，说明之前左右是平的，插入了一个值导致不平衡了，那么这个节点往下的最大高度就增大一个高度了，因此还要继续往上更新。
当一个节点更新后|bf|=2，说明之前是左右不平的，现在又往高的一方插入一个导致更高了，这时我们需要进行旋转。
当节点到达root节点时，也不需要往上更新了，已经到顶了。

如下：值为1的节点更新是情况2，值为3节点更新是情况3

如图：值为14节点更新是情况2，值为10的节点更新是1情况3，此时已经不是AVL树了，需要旋转

如下图：值为8更新对应的是情况4

那么我们就可以写出插入和更新的代码：（这里我用K结构和去重结构）

旋转

我们所有的情况都处理完了，现在就差旋转没有解决了，我们来看看什么是旋转：

旋转的原则

1. 保持搜索树的规则
2. 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

右单旋

右单旋就是如上图所述，整个是向右边旋转的。原理就是10一定比左子树都大，那么10可以连接5的右子树到左子树来，然后5作为根将10作为它的右子树。这样就让bf从2变为0。

我们再看几个具体的例子:

这里我们注意到右单旋的满足条件是根节点bf=2，根节点左节点的bf=1。

我们进行代码实现：

左单旋

就是右单旋的对称，这里就不过多讲解了

代码实现:

左右双旋

双旋的情况更复杂：

我们先找规律，这里的节点插入不是像左单旋和右单旋医院插入到两边，而是插入在片内部的区域，这里就是插入在subL的左右节点区域。旋转后，subLR会变为根节点，subLR的左右节点会分开到左右两边去。

根据subLR的bf值，可以分为三种情况：

bf=0时，只有一种树的情况，就是如图，这种情况我们需要将最后三个节点的bf都置为0
bf=1时，说明增加的值插入在右边，最后bf从左到右要更新为-1 0 0
bf=-1时，说明增加的值插入在左边，最后bf从左到右要更新为 0 0 1

bf=1或-1更新的-1和1是因为subLR中最短的那个树造成的，它是四个子树中最短的一条，分到哪边，就是哪边最短的。因此会出现1或者-1的bf更新值。

代码实现：

因为有左单旋和右单旋的代码实现，我们这里主要是对三个节点bf的更新：

看到注释了吗，这玩意坑死我了，在经过左单旋和右单旋后，subLR的bf已经不是原来的bf了，会变成0，导致出现极其隐蔽的错误！

右左双旋

和左右双旋是对称的：

依然是分三点，看subRL的bf

bf=0 三个都是0
bf=1 最左边的为-1
bf=-1 最右边的为1

原理一样的，直接看代码：

那么最后我们的插入函数就完善了：

AVL树检测：

首先就是用查找函数进行检测：

但是不是十分的准确，应该从高度差和平衡因子入手：

效率分析

这就不必多说了，肯定是杠杠的logn。

AVL树的删除（了解即可）

要知道AVL树的删除，我们首先要知道普通搜索二叉树的删除是怎么搞的。不会的就去看我的搜索二叉树的博客。

那么我这里接给出搜索二叉树的删除节点的总结：同时我讲这几种情况平衡因子的更新是如何的，我用红色标记为平衡因子的更新解释

如果删除的是叶子节点，那么就直接删除这个叶子节点即可。此时的高度会降，那么就要向上更新平衡因子，必要的时候进行旋转。
如果删除的节点一边有节点，另一边是空，设这个节点叫del。那么可以直接删除del，让它的存在的子树直接和del的父亲相连。同时考虑root的特殊情况，需要更新root。此时del的子树高度差不会变化，变化从del的父亲开始，那么就从这开始向上更新平衡因子，必要的时候进行旋转
如果删除的节点左右子树都有节点，依然设这个节点为del。我们可以找del左子树最大的节点或者右子树最小的节点进行值交换，然后把左子树最大节点或者右子树最小节点删掉。这里就用右子树最大节点来操作，设这个节点为swap。那么我们就要找del右子树的swap节点，有可能就是右子树的根，即这颗右子树没有左子树，那么我们直接把swap的值赋给del，然后删除swap节点，让swap的右子树连接到del上，此时swap的高度差不变，变化的是del的平衡因子，因此从del开始向上跟小平衡因子，必要的时候开始旋转。如果del的右子树有左子树，那么就一直往它的左边走，找到最左边的节点作为swap节点，这个节点就是del右子树的最小值，此时我们直接把swap的值赋给del，然后删除swap节点，同时让swap的右子树连接到swap的父亲节点的左边，此时swap的右子树高度差依然不变，变的是swap父亲的平衡因子，因此从swap的父亲开始向上更新平衡因子，必要的时候进行旋转。

这里我讲的较为抽象，不知道的可以看我之前的博客

那么我们先放出没有平衡因子更新的删除：

这里我们可以看到，向上更新的过程经常发生，那么直接就将这个过程搞成一个函数，方便我们写代码。否则有很多的冗杂代码。毕竟二叉搜索树的删除代码也是比较复杂的。

那么就可以合在一起了：

这里我就不细讲了，具体细节大家自己考究，因为这个在面试里面都不做要求，一般只会考一下插入，旋转。

作者吐槽：AVL树细节多的要死，需要大家在脑子清醒的时间段写，不然bug会很多，毕竟不能像其它数据结构一样可以写一点测一点，AVL树必须把四个旋转都写了，完成插入操作后才能检测得到是否有问题。因此务必要理解旋转的代码，并且注意细节问题。例如能多存那几个节点的指针就多存，不要贪内存，防止混乱或者指针地址变化导致最后的错误。又例如双旋要提前存bf不然坑的死死的。总之务必小心，不然极其容易让自己崩溃。