跳表
- 跳表的基本概念
跳表全称为跳跃列表，它允许快速查询，插入和删除一个有序连续元素的数据链表。跳跃列表的平均查找和插入时间复杂度都是O(logn)。快速查询是通过维护一个多层次的链表，且每一层链表中的元素是前一层链表元素的子集。一开始时，算法在最稀疏的层次进行搜索，直至需要查找的元素在该层两个相邻的元素中间。这时，算法将跳转到下一个层次，重复刚才的搜索，直到找到需要查找的元素为止。
1.1跳表的查询类似于二分查找，如下图示例
在一个有序数组中，若我们想使用二分法去查找20这个元素，则我们需要找到中间这个值，然后与12比较大小，大的则在右边查找即可，小的在左边查找即可，很明显我们需要在右边查找20这个数，刚好找到了20这个，如果数组的长度为N，那么时间的复杂度则为O(logN)空间复杂度为O(1)。
但是如果是一个有序链表的话，我们就不能使用二分法来查找，因为链表不支持随机访问，所以这时我们就需要用到跳表这个概念来解决这个问题。
首先我们需要进行第一次索引，在每两个节点提取一个节点到上一级，得到第一个索引层
这样在第一层的位置进行遍历我们就可以找到20这个数，但是还有一个更简单的方法，那就是再建立一层索引，如下图。
这样我们的索引的元素就更少了，我们仅需要找到第二层中仅小于20的元素12，然后顺着12访问它的下一层也就是第一层，在这一层找到20这个元素，然后顺着20这个元素找到原始链表中的数，即是我们需要查找的数。这样我们的时间复杂度也变为了O(logN)。
如果某一个节点有上层节点的话，则我们需要向上走，整个过程类似于楼梯的形状，每个节点第一被访问一定是位于最顶层
*如果节点x有第i+1，那么我们需要向上走，这种概率为p。
*如果节点没有第i+1层指针，那么我们需要向左走，这种概率为1-p。 
1.2 跳表的插入
加入我们要插入一个10的元素，则我们需要先找到仅此于小于10的元素，也就是9。
然后从最高层开始查找到仅次小于10的元素，并将10插入其中
1.3 跳表的删除
首先我们需要先判断当前节点是否存在，只有存在才能删除，然后找到前驱节点，删除节点和单链表的删除类似。假设我们要删除12，则我们需要从顶层开始查找，发现12就在顶层然后删除12，顺着12找到下一层把第一层的12也删除，最后删除原始链表中的12。
这样我们就完成了删除操作。
相关代码如下
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#define MAX_LEVEL 6
typedef struct SkipListNode {
int key;
int value;
struct SkipListNode** forward;
} SkipListNode;
typedef struct SkipList {
int max_level;
int level;
SkipListNode* header;
} SkipList;
SkipListNode* skipListNodeInit(int level, int key, int value) { //接受节点的层数level、键值key和值value作为参数，并动态分配内存来创建节点；
SkipListNode* node = (SkipListNode*)malloc(sizeof(SkipListNode));
node->key = key;
node->value = value; // //将节点的键值和值设置为参数的值；
node->forward = (SkipListNode**)malloc((level + 1) * sizeof(SkipListNode*)); //为指针数组forward分配足够的内存；
for (int i = 0; i <= level; i++) {
node->forward[i] = NULL; //将指针数组中的所有元素初始化为NULL
}
return node; //返回创建的节点。
}
SkipList* skipListInit() { //初始化跳表
SkipList* skipList = (SkipList*)malloc(sizeof(SkipList)); //动态分配内存来创建一个SkipList结构体
skipList->max_level = MAX_LEVEL; //设置最大层数max_level为预定义的常量值MAX_LEVEL
skipList->level = 0; //设置当前层数level为0
skipList->header = skipListNodeInit(MAX_LEVEL, 0, 0); //调用上述skipListNodeInit函数创建一个头节点。
for (int i = 0; i <= MAX_LEVEL; i++) {
skipList->header->forward[i] = NULL; //将头节点的指针数组中的所有元素初始化为NULL
}
return skipList; //返回创建的跳表。
}
int randomLevel() {
int level = 1;
while (rand() < RAND_MAX / 2 && level < MAX_LEVEL) {
level++;
}
return level;
}
void skipListInsert(SkipList* skipList, int key, int value) { //节点插入
SkipListNode* update[MAX_LEVEL + 1]; //创建一个更新数组update
SkipListNode* current = skipList->header;
for (int i = skipList->level; i >= 0; i--) {
while (current->forward[i] != NULL && current->forward[i]->key < key) {
current = current->forward[i];
}
update[i] = current;
}
current = current->forward[0];
if (current != NULL && current->key == key) { //如果新节点的层级大于当前跳表的层级
current->value = value;
} else {
int new_level = randomLevel();
if (new_level > skipList->level) {
for (int i = skipList->level + 1; i <= new_level; i++) {
update[i] = skipList->header;
}
skipList->level = new_level; //更新对应层级的前进节点数组
}
SkipListNode* new_node = skipListNodeInit(new_level, key, value);
for (int i = 0; i <= new_level; i++) {
new_node->forward[i] = update[i]->forward[i];
update[i]->forward[i] = new_node; //将新节点插入到跳表中
}
}
}
void skipListDelete(SkipList* skipList, int key) { //创建一个更新数组update
SkipListNode* update[MAX_LEVEL + 1];
SkipListNode* current = skipList->header;
for (int i = skipList->level; i >= 0; i--) {
while (current->forward[i] != NULL && current->forward[i]->key < key) {
current = current->forward[i];
}
update[i] = current;
}
current = current->forward[0];
if (current != NULL && current->key == key) {
for (int i = 0; i <= skipList->level; i++) {
if (update[i]->forward[i] != current) {
break;
}
update[i]->forward[i] = current->forward[i];
}
free(current); //释放要删除的节点的内存。
while (skipList->level > 0 && skipList->header->forward[skipList->level] == NULL) {
skipList->level--;
}
}
}
SkipListNode* skipListSearch(SkipList* skipList, int key) { //节点查找
SkipListNode* current = skipList->header;
for (int i = skipList->level; i >= 0; i--) {
while (current->forward[i] != NULL && current->forward[i]->key < key) {
current = current->forward[i];
}
}
current = current->forward[0];
if (current != NULL && current->key == key) {
return current;
} else {
return NULL;
}
}
int main() {
srand(time(NULL)); //调用srand函数设置随机数种子
SkipList* skipList = skipListInit(); //通过调用skipListInit函数初始化一个跳表
skipListInsert(skipList, 3, 30); //使用skipListInsert函数插入一系列键值对
skipListInsert(skipList, 1, 10);
skipListInsert(skipList, 2, 20);
skipListInsert(skipList, 4, 40);
skipListInsert(skipList, 6, 60);
skipListInsert(skipList, 5, 50);
skipListInsert(skipList, 7, 70);
SkipListNode* node = skipListSearch(skipList, 4); //使用skipListSearch函数搜索具有键值为4的节点，并打印出节点的键值和值。
if (node != NULL) {
printf("Key: %d, Value: %d\n", node->key, node->value);
} else {
printf("Key not found.\n");
}
skipListDelete(skipList, 4); //使用skipListDelete函数删除具有键值为4的节点。
node = skipListSearch(skipList, 4); //再次使用skipListSearch函数搜索具有键值为4的节点
if (node != NULL) {
printf("Key: %d, Value: %d\n", node->key, node->value);
} else {
printf("Key not found.\n");
}
return 0;
}
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