数学建模学习笔记

• 时间序列模型

时间序列模型就是将预测对象按照时间顺序排列起来,用这一组时间序列过去的变化规律,推断今后变化的可能性及变化趋势、变化规律。

时间序列模型也是一种回归模型,其一方面承认事物发展的延续性,运用过去的数据来推测事物的发展趋势;另一方面又考虑到偶然因素产生的随机性,为了消除随机波动的影响,利用历史数据,进行统计分析,并对数据进行适当的处理,进行趋势预测。

优点是简单易行,便于掌握，能够充分运用原时间序列的各项数据,计算速度快,对模型参数有动态确定的能力,精度较好,采用组合的时间序列或者把时间序列和其他模型组合效果更好。

缺点是不能反映事物的内在联系,不能分析两个因素的相关关系,只适用于短期预测。

• 聚类分析法

聚类分析是根据在数据中发现的描述对象及其关系的信息，将数据对象分组。目的是，组内的对象相互之间是相似的（相关的），而不同组中的对象是不同的（不相关的）。组内相似性越大，组间差距越大，说明聚类效果越好。

也就是说， 聚类的目标是得到较高的簇内相似度和较低的簇间相似度，使得簇间的距离尽可能大，簇内样本与簇中心的距离尽可能小

聚类分析的度量指标用于对聚类结果进行评判，分为内部指标和外部指标两大类

• 外部指标指用事先指定的聚类模型作为参考来评判聚类结果的好坏
• 内部指标是指不借助任何外部参考，只用参与聚类的样本评判聚类结果好坏

聚类分析的基本概念和方法：聚类分析的基本概念和方法

标准形式：

• 目标函数求极值
• 约束条件有不等式或两端用“=”
• 约束条件右端常数有负数
• 决策变量不满足非负约束

• 动态规划

通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式求解复杂问题的方法。动态规划常常适用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题，本质就是递归。

常用于求最值，资源分配问题：如斐波那契数列问题，上台阶问题，最大连续子串问题， 礼物最大价值问题，最长递增子序列、最小编辑距离、背包问题、凑零钱问题等等

• 层次分析法

层次分析法的特点：在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。（比如这里我们设定三种指标：饮料的口味，饮料的价格和饮料健康程度，那么最直观的量化方法就是给各个因素一个权重，然后给各个饮料进行打分这类似的问题）

1.层次分析法概述

层次分析法（AHP法）：该方法将定量分析与定性分析结合起来，用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度，并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数，利用权数求出各方案的优劣次序，比较有效地应用于那些难以定量方法解决的课题。

层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来，按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。

层次分析法的3大典型应用：

• 用于最佳方案的选取（选择运动员、选择地址）
• 用于评价类问题（评价水质状况、评价环境）
• 用于指标体系的优选（兼顾科学和效率）

2.层次分析法的基本原理

根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最底层（供决策的方案、措施等）相对于最高层（总目标）的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

运用层次分析法构造系统模型时，大致分为以下4个步骤：

• 建立层次结构模型
• 构造判断（成对比较）矩阵
• 层次单排序及其一致性检验
• 层次总排序及其一致性检验

3.层次分析法的步骤和方法

层次分析法的基本步骤归纳如下：

(1).建立层次结构模型：

    包括目标层、准则层、方案层

(2).构造成对比较矩阵：

    从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度

(3).计算单排序权向量并做一致性检验

对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。

(4).计算总排序权向量并做一致性检验。

计算最下层对最上层总排序的权向量，利用总排序一致性比率CR进行检验。

4.应用：数学建模方法——层次分析法（AHP）

详细介绍：http://t.csdnimg.cn/wX7Xq

• 整数规划

规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中， 变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。

它与线性规划的区别：

• 从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上，通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至不能保证所得到的解是整数可行解。
• 整数规划的模型与线性规划基本相同，只是额外增加了部分变量为整数的约束。
• 整数规划与松弛的线性规划之间的关系。

整数规划的数学模型一般形式：

详解：http://t.csdnimg.cn/q4dXI

• 非线性规划

非线性规划：约束条件和目标函数存在非线性函数。简单点说，约束条件和目标函数中至少一个决策变量不是一次方，例如三角函数、对数、多次方等。（线性规划是指模型中所有变量的次数只能是一次，非线性规划就是包含xa ( a≠1 ) , sin ( x ) , cos( x ) ,ex , ln(x)的模型。）

线性规划和非线性规划主要区别在于方程中未知数的次数。线性方程中未知数的次数都是一次，而非线性方程中未知数的次数可以是二次、三次或更高次；求解线性方程通常更为直接，可以使用代数方法解析求解，例如消元法、逆矩阵法等。而非线性方程的求解通常更为复杂，可能需要数值方法或近似求解。

详解：数学建模之非线性规划

MATLAB-非线性规划

• 多维标度法

多维标度法（Multidimensional Scaling）是一种多维标度法是一类多元统计分析方法的总称，包含各种各样的模型和手段，其目的是通过各种途径把高维的研究对象转化成低维情形进行定位、分析和归类，同时又保留对象间的原始关系。同时也是一种可视化方法，实践中通常利用2D或3D的MDS 结果观察（投影后）点的分布和聚集来研究数据的性质。（就是利用客体间的相似性数据去揭示他们之间的空间关系的统计分析方法）

多维标度法（MDS）基于研究对象间的亲近关系（如距离、相似度），在低维空间中重建其关系，以直观展示和分类。相较于聚类分析，MDS避免高维数据一维化导致的失真，保持数据原始关系。MDS利用成对样本间相似性，构建低维空间，使样本间距离反映高维空间中的相似性。MDS包括度量标度（如经典、最小二乘）和非度量标度，分别适用于定量和定性数据。选择MDS需考虑分析层次及空间图解释能力，通过拟合度和紧缩值评估数据拟合程度。

多维标度法解决的问题是:当n个对象(object)中各对对象之间的相似性(或距离)给定时，确定这些对象在低维空间中的表示，并使其尽可能与原先的相似性(或距离)“大体匹配”，使得由降维所引起的任何变形达到最小。多维空间中排列的每一个点代表一个对象，因此点间的距离与对象问的相似性高度相关。也就是说，两个相似的对象由多维空间中两个距离相近的点表示，而两个不相似的对象则由多维空间两个距离较远的点表示。多维空间通常为二维或三维的欧氏空间，但也可以是非欧氏三维以上空间。（例子：假如给一组城市，总能从地图上测出任何一对城市之间的距离。但如果只有若干城市的距离，如何确定这些城市之间的相对位置。假定知道只是哪两个城市最近，那两个城市次近等，是否还能确定它们之间的相对位置。）

相关资料：多维标度法计算