Legendre公式

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一、Legendre 公式简介

1. 公式概述

所需参数：

• n ：$n$是一个正整数
• p ：$p$是一个小于等于$n$的质数。

输出结果：

• x ：通过Legendre公式可以计算出 $n!$ 的其中一个约数 $p^x$ 中 $x$的最大值。

我们可以用唯一分解定理来直观理解：
唯一分解定理表明，任何正整数都可以唯一地表示为质数的幂的乘积，$n!$ 也不例外：
$n！=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\dots p_k^{e_k}$ ，其中$p_i$是唯一分解后的质数，$e_k$是对应的$p_i$的幂次。
给定两个参数$n$、$p_i$，就能求出$p_i$的最高次幂$e_i$。

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2. 算法模板

import java.util.Scanner;
public class 求n的阶乘中x的最高次幂 {

    
    // 使用 Legendre 公式计算n!中质数p的最大幂次
    /**
     * @param n 正整数
     * @param p p是质数，并且p<=n
     */
    public static int legendreExponent(int n, int p) {
            int exp=0;//统计p的幂次
        while(n>0){
            exp+=(n/p);
            n/=p;
        }
        return exp;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入阶乘的数值n：");
        int n = scanner.nextInt();
        System.out.println("请输入质数p：");
        int p = scanner.nextInt();
        int exponent = legendreExponent(n, p);
        System.out.println("在" + n + "!中，质数" + p + "的指数为：" + exponent);
        scanner.close();
    }
}

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二、例题讲解

题目连接

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1. 题目描述

本题为填空题，只需要算出结果后，在代码中使用输出语句将所填结果输出即可。

定义阶乘 $n!=1\times 2\times 3\times \cdots \times n$。

请问 $100!$ （100 的阶乘）有多少个正约数。

运行限制

• 最大运行时间：1s
• 最大运行内存：128M

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2. 解题思路

$100!$ 是一个非常庞大的数字，如果直接暴力枚举其中的每一个数字，一定会超时。

1. 我们可以用唯一分解定理，将其分解成有限个质数： $n！=p_1^{e_1}{p}_2^{e_2}\dots p_k^{e_k}$

2. 可以发现$n!$的所有正约数就在这个集合：{ $p_1^0,\dots p_1^{e_1},p_2^0,\dots p_2^{e_2},\dots ,p_k^0,\dots p_k^{e_k}$ }

3. 因此 $100!$ 的正约数个数就是${\prod }_{i=1}^k(e_i+1)$

4. $e_i$可以通过枚举1-100中所有的质数$p_i$计算获得，最终计算出答案。

tips: ${\prod }_{i=1}^k(e_i+1)$ 是累乘的意思

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3. AC代码

import java.math.BigInteger;

public class Main {
    // 判断是否为质数
    public static boolean isPrime(int num) {
        if (num < 2) return false;
        for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {
            if (num % i == 0) return false;
        }
        return true;
    }

    // 使用 Legendre 公式计算n!中质数p的最大幂次
    /**
     * @param n 正整数
     * @param p p是质数，并且p<=n
     */
    public static int legendreExponent(int n, int p) {
       int exp=0;
       while(n>0){
           exp+=(n/p);
           n/=p;
       }
       return exp;
    }


    public static void main(String[] args) {

        BigInteger ans=BigInteger.ONE;//因为要累乘，所以这里必须是1，不能是0

        //枚举1-100的所有质数,计算n!中i的最高次幂（i+1）进行累乘
        int n=100;
        for(int i=2;i<=100;i++){

            //是质数就进行计算（100!唯一分解后，1-100中所有质数一定都有贡献）
            if(isPrime(i)){
                ans=ans.multiply(BigInteger.valueOf(legendreExponent(n,i)+1));
            }
        }
        System.out.println(ans.toString());
    }
}

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