深入理解算数表达式求值：后缀表达式的转换与计算

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前言

在计算机科学中，算数表达式的求值是一个经典的问题，尤其是在编译器设计和计算器应用中。中缀表达式，即我们日常所见的数学表达式（如 3 + 4 或 (2 + 3) * 4），虽然直观易懂，但对于计算机来说并不友好，因为它们需要遵循特定的运算优先级规则。因此，将中缀表达式转换为后缀表达式（也称为逆波兰记法或RPN）可以简化计算过程，使计算机能够更有效地进行求值。

后缀表达式简介

后缀表达式的特点是运算符紧跟在其操作数之后，例如，中缀表达式 3 + 4 转换为后缀表达式后成为 3 4 +。这种格式消除了对运算符优先级的依赖，也不需要使用括号来表示运算的顺序，这使得计算变得更为直接和高效。

中缀到后缀的转换

步骤概述

1. 初始化：创建一个空的运算符栈和一个空的数组。
2. 遍历输入：逐个检查中缀表达式中的每个字符。
   • 如果是操作数，直接将其添加到数组。
   • 如果是运算符，根据栈顶运算符的优先级与当前运算符比较：
     • 若当前运算符优先级高于栈顶运算符，则将当前运算符压入栈。
     • 若当前运算符优先级低于或等于栈顶运算符，从栈中弹出运算符并添加到数组，直到栈顶运算符优先级低于当前运算符，再将当前运算符压入栈。
   • 如果是左括号 (，直接压入栈。
   • 如果是右括号 )，则不断从栈中弹出运算符并添加到数组，直到遇到对应的左括号，然后将这对括号丢弃。
3. 处理剩余运算符：当所有字符被处理后，将栈中剩余的运算符依次弹出并添加到数组。

后缀表达式的计算

计算后缀表达式相对直接，主要步骤如下：

1. 初始化：创建一个空的数值栈。
2. 遍历后缀表达式：逐个检查后缀表达式中的每个元素。
   • 如果是操作数，将其压入数值栈。
   • 如果是运算符，从数值栈中弹出两个操作数，执行相应的运算，然后将结果压回栈中。
3. 最终结果：当所有元素被处理后，数值栈的顶部元素就是整个表达式的计算结果。

示例

假设我们要计算中缀表达式 (3 + 4) * 5 的值，我们首先将其转换为后缀表达式：

1. 初始化：[]&#