整除分块（知识+例题）

inwith

于 2025-03-17 15:12:40 发布

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文章标签：算法

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1.例题

2022年中国高校计算机大赛-团队程序设计天梯赛（GPLT）

对于这道题如果数据范围过大暴力肯定是会超时的

以20为例，一共出现了多少个i的倍数？

可以发现在连续的一段区间内是相同的，那么就启发我们是否可以将其分为若干块分别进行计算呢?

这就是整除分块的核心思想了。

2.整除分块

性质1：当i<= $\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor$ 时，n / i>= $\sqrt{n}$ ,因为向下取整，所以 $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ = $\sqrt{n}$ ；如果i> $\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor$ 时， $\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor$ <= $\sqrt{n}$ 。

性质2：分块的右端点r=n / (n / i).因为k<= $\frac{n}{i}$ ，那么 $\frac{n}{k}>=\frac{n}{\frac{n}{i}}$ ，所以对于 i 来说，它所在块的右端点数最大为n / (n / i)。n=21,对于6，n / i=3，n / 3=7，所以6所在块的右端点为7；对于11，21 / 11=1，21 / 1=21，所以11所在块的右端点为21.

有些题目可能有f(i)，我们可以用前缀和预处理一下或者用数列求和；对于每一块的 n / i都是相同的，所以我们只需找出左右区间，枚举每一块即可。

复制别人的（不想手写）

void solve(){
	int n;
	cin>>n;
	__int128 r,i=1,sum=n;//区间和会超longlong,int128最大值最高位2^127-1
	sum=sum*sum; //不能sum=n*n因为n*n的范围太大
	for(i=1;i<=n;i=r+1){
		r=n/(n/i); //计算右区间
		sum=sum-(r-i+1)*(i+r)/2*(n/i);
		//sum%=mod;
	} 
	cout<<(int)(sum%mod);//最后要取模再强转，不然无法输出