动态规划四——子序列系列-优快云博客

单独一个元素组成子序列：dp[i]=1;
和前面的元素一起组成子序列：这个时候我们不能随便乱填dp[i]，我们可以回去看一下状态表示：一定要是最长子序列的长度，所以我们完全可以定义一个变量 j 从0开始往n-1进行遍历，看看哪个的dp[j]最大，哪个的最大就让nums[i]跟在它后面。所以就是最大的dp[j] + 1

由于我们要找最长的，所以最终的状态转移方程：

if (nums[i] > nums[j]) {

dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);

}

注意：我们回到这个题目，题目说找一个严格递增的子序列，所谓严格递增，就是子序列里面各个元素不能存在相等的情况，只能是nums[i]>nums[j]。

3.初始化：

初始化我们是将它初始化为最差的情况。

每个元素单独都能构成一个递增子序列，因此初始时，dp[i] 应该被设置为 1（对于所有 i）。

4.填表顺序：

由于我们需要用到前面的状态来计算当前状态，因此填表顺序应该是从左往右（即从小到大的索引）。

5.返回值：

最长递增子序列的长度就是 dp 数组中的最大值。

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        vector<int> dp(n,1);

        int ret=1;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j <= i-1; j++) {
                if (nums[i] > nums[j]) {
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j] + 1);
                }
                ret=max(ret,dp[i]);
            }
        }
        return ret;
    }
};

题目二——376. 摆动序列 - 力扣（LeetCode）

这个题目很像多状态dp啊

1. 状态表⽰：

对于线性 dp ，我们可以⽤「经验+题⽬要求」来定义状态表⽰：

i. 以某个位置为结尾，巴拉巴拉；
ii. 以某个位置为起点，巴拉巴拉。

这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：

dp[i] 表⽰「以 i 位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度」。

但是，问题来了，如果状态表⽰这样定义的话，以 i 位置为结尾的最⻓摆动序列的⻓度我们没法从之前的状态推导出来。因为我们不知道前⼀个最⻓摆动序列的结尾处是递增的，还是递减的。因此，我们需要状态表⽰能表⽰多⼀点的信息：要能让我们知道这⼀个最⻓摆动序列的结尾是递增的还是递减的。

解决的⽅式很简单：搞两个 dp 表就好了。

f[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「上升趋势」的最⻓摆动序列的⻓度；
g[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「下降趋势」的最⻓摆动序列的⻓度。

2.状态转移方程

像这种子数组或者子序列的状态转移方程的推导，都是从如何构成子序列或者子数组来解决的！！

那以nums[i]为结尾的子序列可以分为下面几类：

单独一个元素组成子序列：
和前面的元素一起组成子序列（比如说跟在nums[i-1]后面形成子序列，或者跟在nums[i-2]后面，再或者跟在nums[i-3]后面……跟在nums[0]都是可以的

由于子序列的构成比较特殊，对于 f[i]（即以 i 位置为结尾的子序列），其前一个位置 j 可以是 [0, i - 1] 区间内的某一个位置。我们可以根据子序列的构成方式进行分类讨论：

单独一个元素组成子序列：此时，只能由单个元素自身构成，因此 [0, i - 1] 的任意 f[i] 初始化为 1。
和前面的元素一起组成子序列：因为结尾要呈现上升趋势，所以需要 nums[j] < nums[i]。在满足这个条件下，j 结尾的子序列需要呈现下降状态，因此最长的摆动序列就是 g[j] + 1。我们需要找出所有满足条件下的最大 g[j] + 1，并更新 f[i]。

综上，对于 f[i] 的更新公式为：

f[i] = max(g[j] + 1, f[i])，其中 j 满足 0 <= j < i 且 nums[j] < nums[i]。

同理，对于 g[i]（即以 i 位置为结尾的子序列），我们也可以进行分类讨论：

单独一个元素组成子序列：此时，只能由单个元素自身构成，因此 g[i] 初始化为 1。
和前面的元素一起组成子序列：因为结尾要呈现下降趋势，所以需要 nums[j] > nums[i]。在满足这个条件下，j 结尾的子序列需要呈现上升状态，因此最长的摆动序列就是 f[j] + 1。我们需要找出所有满足条件下的最大 f[j] + 1，并更新 g[i]。

综上，对于 g[i] 的更新公式为：

g[i] = max(f[j] + 1, g[i])，其中 j 满足 0 <= j < i 且 nums[j] > nums[i]。

3.初始化：

由于每个元素单独都能构成一个摆动序列（长度为 1），因此我们可以将 f 和 g 两个 DP 表内的所有元素初始化为 1。

4.填表顺序：

毫无疑问，我们应该从左往右依次填充 DP 表，即按照数组 nums 的顺序进行。

5.返回值：

最终，我们应该返回两个 DP 表里面的最大值，这代表了最长的上升摆动子序列和下降摆动子序列中的最长者。我们可以在填表的过程中，顺便更新一个全局的最大值变量来记录这个结果。

所以我们很容易就想到下面这个代码

class Solution {
public:
    int wiggleMaxLength(vector<int>& nums) {
        int n=nums.size();
        vector<int>f(n,1);
        vector<int>g(n,1);

        int ret=1;
        for(int i=1;i<n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=i-1;j++)
            {
                if(nums[j]<nums[i])
                {
                    f[i]=max(f[i],g[j]+1);
                }