裴蜀定理（Bézout‘s identity）

裴蜀定理（Bézout’s identity），又称贝祖定理，是数论中的一个重要定理，得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

定理内容

对于任意两个不全为零的整数 (a) 和 (b)，设它们的最大公约数为 (d = \gcd(a, b))，则存在整数 (x) 和 (y)，使得：
[ ax + by = d ]
特别地，当 (a) 和 (b) 互质时（即 (\gcd(a, b) = 1)），一定存在整数 (x) 和 (y) 使得：
[ ax + by = 1 ]

推广

裴蜀定理可以推广到多个整数的情况。对于不全为零的 (n) 个整数 (a_1, a_2, \ldots, a_n)，设它们的最大公约数为 (d = \gcd(a_1, a_2, \ldots, a_n))，则存在整数 (x_1, x_2, \ldots, x_n)，使得：
[ a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = d ]

证明

1. 对于两个整数的情况：
   • 如果 (a) 或 (b) 为零，定理显然成立。
   • 对于非零的 (a) 和 (b)，可以通过辗转相除法（欧几里得算法）逐步展开，最终证明存在整数 (x) 和 (y) 使得 (ax + by = \gcd(a, b))。
2. 对于多个整数的情况：
   • 可以通过类似的方法，逐步将问题归结为两个整数的情况，最终证明存在整数解。

应用

裴蜀定理在数论中有着广泛的应用，例如：

• 判断线性丢番图方程 (ax + by = m) 是否有整数解：该方程有整数解当且仅当 (m) 是 (\gcd(a, b)) 的倍数。
• 证明整数的互质性：如果存在整数 (x) 和 (y) 使得 (ax + by = 1)，则 (a) 和 (b) 互质。

裴蜀定理不仅在理论上有重要意义，还在实际问题中提供了有效的解决方案，例如在密码学、算法设计等领域。