快速求出质数

要快速判断一个数是否为质数，可以采用以下优化后的试除法，结合数学规律大幅减少计算量：

步骤说明

1. 处理特殊情况：

   • 若 ( n \leq 1 )，不是质数。
   • 若 ( n = 2 ) 或 ( n = 3 )，是质数。
   • 若 ( n ) 能被 2 或 3 整除，不是质数。

2. 优化试除范围：

   • 所有质数（除 2 和 3）都可表示为 ( 6k \pm 1 ) 的形式。
   • 只需检查 ( 5 ) 到 ( \sqrt{n} ) 之间的 ( 6k \pm 1 ) 的数。

3. 循环检查：

   • 以 6 为步长，每次检查 ( i ) 和 ( i+2 ) 是否能整除 ( n )。

C++ 代码实现

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

bool is_prime(int n) {
    if (n <= 1) return false;       // 小于等于1的数不是质数
    if (n <= 3) return true;        // 2和3是质数
    if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0)  // 排除能被2或3整除的数
        return false;
    
    // 检查形如6k±1的数，直到i超过sqrt(n)
    for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) {
        if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0)
            return false;
    }
    return true;
}

int main() {
    int num;
    cout << "输入一个整数: ";
    cin >> num;
    
    if (is_prime(num))
        cout << num << " 是质数" << endl;
    else
        cout << num << " 不是质数" << endl;
    
    return 0;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：( O(\sqrt{n}) )，但实际运行次数比普通试除法减少约 3 倍。
• 空间复杂度：( O(1) )，仅需常数空间。

优化原理

1. 减少除数范围：通过数学推导，质数必定出现在 ( 6k \pm 1 ) 的序列中，避免检查不必要的数。
2. 提前终止条件：当 ( i^2 > n ) 时停止循环，确保只检查到 ( \sqrt{n} )。
3. 快速排除偶数：先处理 2 和 3 的倍数，直接跳过后续循环。

示例测试

• 输入：7 → 输出：是质数
• 输入：25 → 输出：不是质数（5×5）
• 输入：997 → 输出：是质数（大质数）
• 输入：1000001 → 输出：不是质数（101×9901）

这种方法结合数学规律和代码优化，能高效处理大多数情况下的质数判断需求。对于极大数（如加密用的大质数），可进一步使用概率性算法如 米勒-拉宾素性测试 进行更快速判断。