前缀和算法

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前缀和算法 是一种通过预处理数组，快速计算任意区间和的技巧。它能在 O(1) 时间复杂度内回答区间和的查询，适用于需要频繁计算子数组/子区间和的问题。以下是其核心应用场景、实现方法及经典例题：

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一、适用场景

1. 频繁查询区间和
   • 多次计算数组的某一子区间 [L, R] 的和。
2. 统计满足条件的子数组数量
   • 例如“和为k的子数组数量”、“和为偶数的子数组数量”等。
3. 处理环形数组或二维矩阵
   • 环形数组通过复制数组处理，二维矩阵扩展为二维前缀和。
4. 结合哈希表优化查找
   • 寻找满足 preSum[j] - preSum[i] = target 的索引组合。

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二、实现步骤

1. 预处理前缀和数组
   • 定义 preSum[i] 表示数组前 i 项的和（索引通常从1开始）。
   • 递推公式：preSum[i] = preSum[i-1] + nums[i-1]。
2. 计算区间和
   • 区间 [L, R] 的和为 preSum[R+1] - preSum[L]（左闭右闭区间）。
3. 结合哈希表优化
   • 遍历时记录前缀和出现次数，快速统计满足条件的子数组。

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三、经典例题与代码

1. 一维前缀和（区间和查询）

class PrefixSum:
    def __init__(self, nums):
        n = len(nums)
        self.preSum = [0] * (n + 1)
        for i in range(1, n+1):
            self.preSum[i] = self.preSum[i-1] + nums[i-1]
    
    def query(self, L, R):  # 闭区间 [L, R]
        return self.preSum[R+1] - self.preSum[L]

# 示例
nums = [1, 2, 3, 4]
ps = PrefixSum(nums)
print(ps.query(1, 2))  # 输出 2+3=5

2. 统计和为k的子数组数量（哈希优化）

def subarraySum(nums, k):
    preSum = {0: 1}  # 初始前缀和为0出现1次
    current_sum = 0
    count = 0
    for num in nums:
        current_sum += num
        # 若 current_sum - target 存在，则存在子数组和为k
        count += preSum.get(current_sum - k, 0)
        preSum[current_sum] = preSum.get(current_sum, 0) + 1
    return count

# 示例
nums = [1, 1, 1]
print(subarraySum(nums, 2))  # 输出 2

3. 二维前缀和（矩阵区域和）

class MatrixPrefixSum:
    def __init__(self, matrix):
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        self.preSum = [[0]*(n+1) for _ in range(m+1)]
        for i in range(1, m+1):
            for j in range(1, n+1):
                self.preSum[i][j] = matrix[i-1][j-1] + self.preSum[i-1][j] + self.preSum[i][j-1] - self.preSum[i-1][j-1]
    
    def query(self, x1, y1, x2, y2):  # 左上角(x1,y1)，右下角(x2,y2)
        return self.preSum[x2+1][y2+1] - self.preSum[x1][y2+1] - self.preSum[x2+1][y1] + self.preSum[x1][y1]

# 示例
matrix = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9]
]
mps = MatrixPrefixSum(matrix)
print(mps.query(1, 1, 2, 2))  # 输出 5+6+8+9=28

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四、常见问题与陷阱

1. 索引偏移问题
   • 前缀和数组通常比原数组多一个元素，需注意索引转换（例如原数组的 nums[i] 对应 preSum[i+1]）。
2. 负数与哈希表结合
   • 当数组中存在负数时，前缀和可能重复，需用哈希表记录所有出现位置。
3. 环形数组处理
   • 若数组是环形的（如 LeetCode 918），可将原数组复制一份拼接，转化为线性问题。

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五、适用问题特征

• 题目中出现 “子数组和”、“连续区间和”、“多次查询区间和” 等关键词。
• 暴力解法时间复杂度为 O(n²)，前缀和可优化至 O(n) 或 O(1)。

前缀和是解决子数组/子区间问题的利器，结合哈希表或二分查找可进一步扩展其应用场景。