洛谷p3379 最近公共祖先

以下是代码的逐行解释：

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1. 头文件和常量定义

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=500005;

• #include<bits/stdc++.h>：包含所有标准库头文件。
• using namespace std;：使用标准命名空间。
• const int N=500005;：定义常量 N，表示树的最大节点数。

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2. 邻接表存储结构

struct Edge{
    int to;
    int next;
}edge[2*N+10]; // 稍大一些避免越界

int head[2*N+10],cnt;

• Edge 结构体：表示一条边，包含 to（边的终点）和 next（下一条边的索引）。
• edge[2*N+10]：存储所有边的数组，大小为 2*N+10（稍大一些避免越界）。
• head[2*N+10]：head[u] 存储节点 u 的第一条边的索引。
• cnt：当前边的数量。

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3. 初始化函数

void init(){
    for(int i=0;i<2*N+10;i++){ // 从 0 开始
        edge[i].next=-1;
        head[i]=-1;
    }
    cnt=0;
}

• 初始化 edge 和 head 数组，将所有值设为 -1，表示没有边。
• cnt=0：初始化边的数量为 0。

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4. 添加边函数

void addedge(int u,int v){
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt++; // 头插法
}

• 将边 (u, v) 添加到邻接表中。
• edge[cnt].to=v：设置边的终点为 v。
• edge[cnt].next=head[u]：将新边的 next 指向 head[u]（当前的第一条边）。
• head[u]=cnt++：更新 head[u] 为新边的索引，并递增 cnt。

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5. 倍增法预处理

int parent[N][20],depth[N];

• parent[u][i]：节点 u 的第 (2^i) 个祖先。
• depth[u]：节点 u 的深度。

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6. DFS 预处理函数

void dfs(int x,int father){
    depth[x]=depth[father]+1;
    parent[x][0]=father;
    for(int i=1;(1<<i)<=depth[x];i++){
        parent[x][i]=parent[parent[x][i-1]][i-1];
    }
    for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
        if(edge[i].to!=father){
            dfs(edge[i].to,x);
        }
    }
}

• depth[x]=depth[father]+1：计算节点 x 的深度。
• parent[x][0]=father：设置节点 x 的第 (2^0) 个祖先为 father。
• for(int i=1;(1<<i)<=depth[x];i++)：通过倍增法计算节点 x 的第 (2^i) 个祖先。
  • parent[x][i]=parent[parent[x][i-1]][i-1]：利用递推公式计算。
• for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)：遍历节点 x 的所有邻接节点。
  • if(edge[i].to!=father)：如果邻接节点不是父节点，递归调用 dfs。

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7. LCA 查询函数

int LCA(int x,int y){
    if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y);

    // 将 x 跳到与 y 同一深度
    for(int i=19;i>=0;i--){
        if(depth[x]-(1<<i)>=depth[y]){
            x=parent[x][i];
        }
    }
    if(x==y) return x;

    // x 和 y 同时向上跳
    for(int i=19;i>=0;i--){
        if(parent[x][i]!=parent[y][i]){
            x=parent[x][i],y=parent[y][i];
        }
    }

    return parent[x][0];
}

• if(depth[x]<depth[y]) swap(x,y)：确保 x 是深度较大的节点。
• for(int i=19;i>=0;i--)：将 x 向上跳，直到与 y 处于同一深度。
  • if(depth[x]-(1<<i)>=depth[y])：如果跳 (2^i) 步后深度仍大于等于 y，则跳。
• if(x==y) return x：如果 x 和 y 已经是同一个节点，直接返回。
• for(int i=19;i>=0;i--)：x 和 y 同时向上跳，直到它们的祖先相同。
  • if(parent[x][i]!=parent[y][i])：如果祖先不同，则跳。
• return parent[x][0]：返回 x 和 y 的最近公共祖先。

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8. 主函数

int main(){
    init();

    int n,m,root;
    cin>>n>>m>>root;
    for(int i=1;i<n;i++){
        int u,v;cin>>u>>v; // 修复输入
        addedge(u,v);
        addedge(v,u);
    }

    dfs(root,0);

    while(m--){
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        cout<<LCA(a,b)<<endl;
    }

    return 0;
}

• init()：初始化邻接表。
• cin>>n>>m>>root：输入节点数 n、查询数 m 和根节点 root。
• for(int i=1;i<n;i++)：输入树的边，并添加到邻接表中。
• dfs(root,0)：从根节点开始 DFS，预处理深度和祖先信息。
• while(m--)：处理每个查询，输出 LCA 结果。

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总结

这段代码通过 邻接表存储树结构、DFS 预处理深度和祖先信息、倍增法优化 LCA 查询，实现了高效的 LCA 查询。其核心思想是：

1. 预处理：通过 DFS 计算深度和祖先信息。
2. 倍增法：通过 (2^i) 步跳跃，将查询复杂度从线性降低到对数级别。
3. 邻接表：高效存储树结构。

通过理解这段代码，可以掌握树结构的基本操作和倍增法的应用，并推广到其他类似问题（如 RMQ、路径查询等）。