C-R条件在极坐标中的表示推导

Cauchy-Riemann条件（CR条件）是复分析中判断一个复函数在某一点上是否解析的重要条件。复函数 $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$，其中 $z=x+iy$，在直角坐标系中满足以下Cauchy-Riemann方程：
$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$

要在极坐标下表示Cauchy-Riemann条件，首先我们将直角坐标 $(x,y)$ 转换为极坐标 $(r,\theta )$，通过以下关系：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

假设复函数 $f(z)=f(r,\theta )=u(r,\theta )+iv(r,\theta )$，其中 $u$ 和 $v$ 是 $r$ 和 $\theta$ 的函数。

推导过程

由复合函数求导可得：
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial r}& =\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}=\frac{\partial u}{\partial x}\cos \theta \\ & =\frac{\partial v}{\partial y}(\sin x{)}^{\prime }=\frac{\partial v}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \theta }\frac{1}{r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta }\end{array}$$
同样地，可以得到：
$$\frac{\partial u}{\partial \theta }=-r\frac{\partial v}{\partial r}$$