算法通关--带权并查集

最新推荐文章于 2025-04-08 21:09:22 发布
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分类专栏： 算法通关 文章标签： 算法
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/2301_79985750/article/details/145538578
版权

原理

        我们知道，并查集可以维护两个点是否是在同一个组内，那么带权并查集不仅有并查集的特征，还有任意集合内任意两点之间的关系，其中最为典型的是一维数轴相对距离模型。

一维数轴相对距离模型

        a距离b为100，代表a在b的右边100个单位距离，c距离d为-20，代表c在d的左边20个单位的距离，现在，我们并不知道a与c,a与d点之间的距离关系。根据以上给出的距离关系，我们可以得知：dist[a]=100，dist[b]=0,dist[c]=-20,dist[d]=0,其中dist[xx]代表某个值距离当前组头节点的距离值，正数代表在头节点右边，0代表该节点为改组的头节点，负数代表在头节点的左边。现在给出a距离c为-60,那么就可以得出四个点之间的关系了，如下图：

 现在a,b,c,d为同一组的点，如何去维护正确的关系呢？例如：b和d的实际距离是多少？可以用-20-100+(-60) 得到实际的值：-180，实际上确实如此。现在a的距离100为错的，怎么办呢？当进行寻找头节点是进行路径压缩是会自动修正。当b变成-180时，由于a的头节点是b,当进行寻找头部的过程中，会进行100+(-180) == -80,为什么？因为找头节点的过程就是dist进行相加。那么上面的-20-100+(-60)可以抽象为dist[后]-dist[前]+v.

  1. 点权代表当前节点到组头节点的距离，并不保证实时正确，可以经过find过程修正正确
  2. void union(l,r,v)，l,r属于两个集合，l和r的距离为v,合并两个集合，find(l)的头为lf,find(r)的头为rf,find的过程会修正dist[r]和dist[l]
  3. find(i):寻找i所在组的头，同时修正dist[i]的值，路径压缩之前i的头为t,路径压缩后，dist[i]+=dist[t]
  4. quert(l，r)查询l和r的关系，find(l)==find(r),即在同一组，才有距离关系，距离=dist[l]-dist[r].

题目

模板题

『STA - R1』Crossnews - 洛谷

可以经过如下的转化：将线段的距离转换为点的距离，就和上面的相同了

 c++代码如下：

const int MAXN = 100002;
const long long INF = 9223372036854775807LL;

int n, m, q;
int father[MAXN];
long long dist[MAXN];

void prepare() {
    for (int i = 0; i <= n; ++i) {
        father[i] = i;
        dist[i] = 0;
    }
}

int find(int i) {
    if (i != father[i]) {
        int tmp = father[i];
        father[i] = find(tmp);
        dist[i] += dist[tmp];
    }
    return father[i];
}

void myUnion(int l, int r, long long v) {
    int lf = find(l), rf = find(r);
    if (lf != rf) {
        father[lf] = rf;
        dist[lf] = v + dist[r] - dist[l];
    }
}

long long query(int l, int r) {
    if (find(l) != find(r)) {
        return INF;
    }
    return dist[l] - dist[r];
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    n += 1;
    scanf("%d", &m);
    scanf("%d", &q);
    prepare();
    int l, r;
    long long v;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        scanf("%d", &l);
        scanf("%d", &r);
        r += 1;
        scanf("%lld", &v);
        myUnion(l, r, v);
    }
    for (int i = 1; i <= q; ++i) {
        scanf("%d", &l);
        scanf("%d", &r);
        r += 1;
        v = query(l, r);
        if (v == INF) {
            printf("UNKNOWN\n");
        }
        else {
            printf("%lld\n", v);
        }
    }
    return 0;
}

这里的find要重点看一下：如果要进行节点的修正，首先记录下老的头节点，在进行更新头节点，最后进行值的更新。

模板题

[HNOI2005] 狡猾的商人 - 洛谷

与题目1不同的是需要判断错误的数据，方法是如果新来的一组数据不是一个组的，进行合并，如果新来的数据在同一个组而且这两个点的距离不同，那么这个数据就是错误的数据。

代码如下：

const int MAXN = 102;
int t, n, m;
bool ans;
int father[MAXN];
int dist[MAXN];

void prepare() {
    ans = true;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        father[i] = i;
        dist[i] = 0;
    }
}

int find(int i) {
    if (i != father[i]) {
        int tmp = father[i];
        father[i] = find(tmp);
        dist[i] += dist[tmp];
    }
    return father[i];
}

void myUnion(int l, int r, int v) {
    int lf = find(l), rf = find(r);
    if (lf != rf) {
        father[lf] = rf;
        dist[lf] = v + dist[r] - dist[l];
    }
}

bool check(int l, int r, int v) {
    if (find(l) == find(r)) {
        if ((dist[l] - dist[r] != v)) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    scanf("%d", &t);
    for (int c = 1; c <= t; ++c) {
        scanf("%d", &n);
        n += 1;
        scanf("%d", &m);
        prepare();
        ans = true;
        for (int i = 1, l, r, v; i <= m; ++i) {
            scanf("%d", &l);
            scanf("%d", &r);
            r += 1;
            scanf("%lld", &v);
            if (!check(l, r, v)) {
                ans = false;
            }
            else {
                myUnion(l, r, v);
            }
        }
        printf("%s\n", ans ? "true" : "false");
    }
    return 0;
}

维护距离关系

https://www.luogu.com.cn/problem/P1196

          其中M l r:合并l队伍和r队伍，将l队伍整体移到r后面，如果是同一个队伍，不进行任何操作，C l r:如果l和r不在一个队伍，打印-1,如果是，打印它们相隔几艘战舰。

        对与这个题来说，我们可以将dist距离改为某艘战舰前面有几艘战舰，当进行合并时，l队伍的头节点（数值为0，头节点前面没有任何战舰）加上r队伍的战舰数量，l队伍的其他节点可以在find的过程进行修正，对与查询过程：a和b中间相隔战舰数=dist[a]-dist[b]的绝对值-1.代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>

const int MAXN = 30001;

int n = 30000;
int father[MAXN];
int dist[MAXN];
int size[MAXN];
int stack[MAXN];

void prepare() {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        father[i] = i;
        dist[i] = 0;
        size[i] = 1;
    }
}

int find(int i) {
    int si = 0;
    while (i != father[i]) {
        stack[++si] = i;
        i = father[i];
    }
    stack[si + 1] = i;
    for (int j = si; j >= 1; --j) {
        father[stack[j]] = i;
        dist[stack[j]] += dist[stack[j + 1]];
    }
    return i;
}

void myUnion(int l, int r) {
    int lf = find(l), rf = find(r);
    if (lf != rf) {
        father[lf] = rf;
        dist[lf] += size[rf];
        size[rf] += size[lf];
    }
}

int query(int l, int r) {
    if (find(l) != find(r)) {
        return -1;
    }
    return abs(dist[l] - dist[r]) - 1;
}

int main() {
    prepare();
    int t;
    scanf("%d", &t);
    char op[2];
    for (int i = 1; i <= t; ++i) {
        scanf("%s", op);
        int l, r;
        scanf("%d %d", &l, &r);
        if (op[0] == 'M') {
            myUnion(l, r);
        }
        else {
            printf("%d\n", query(l, r));
        }
    }
    return 0;
}

维护倍数关系

399. 除法求值 - 力扣（LeetCode）

将模板题的加减变为乘除，即dist[后]/dist[前]*v，find的过程dist相关计算也变为相乘。

class Solution {
public:
    vector<double> calcEquation(vector<vector<string>>& equations, vector<double>& values, vector<vector<string>>& queries) {
        prepare(equations);
        for (int i = 0; i < values.size(); ++i) {
            union_(equations[i][0], equations[i][1], values[i]);
        }
        vector<double> ans(queries.size());
        for (int i = 0; i < queries.size(); ++i) {
            ans[i] = query(queries[i][0], queries[i][1]);
        }
        return ans;
    }

private:
    unordered_map<string, string> father;
    unordered_map<string, double> dist;

    void prepare(vector<vector<string>>& equations) {
        father.clear();
        dist.clear();
        for (auto& list : equations) {
            for (auto& key : list) {
                father[key] = key;
                dist[key] = 1.0;
            }
        }
    }

    string find(string x) {
        if (father.find(x) == father.end()) {
            return "";
        }
        string tmp, fa = x;
        if (x != father[x]) {
            tmp = father[x];
            fa = find(tmp);
            dist[x] *= dist[tmp];
            father[x] = fa;
        }
        return fa;
    }

    void union_(string l, string r, double v) {
        string lf = find(l), rf = find(r);
        if (lf != rf) {
            father[lf] = rf;
            dist[lf] = dist[r] / dist[l] * v;
        }
    }

    double query(string l, string r) {
        string lf = find(l), rf = find(r);
        if (lf.empty() || rf.empty() || lf != rf) {
            return -1.0;
        }
        return dist[l] / dist[r];
    }
};

维护种类关系

[NOI2001] 食物链 - 洛谷https://www.luogu.com.cn/problem/P2024

对与后两种情况很容易进行判断，重要的时第一种情况假话的判断，如何判断当前的话和之前的真话有冲突。

dist[a]=0代表a和头节点时同类，dist[b]=1代表b吃头节点，dist[c]=2代表c被头节点吃：

 由于可能是负数，式子修正为(dist[后]-dist[前]+v+3)%3,怎么来的？由于两者之间的关系是在0,1,2进行切换的，因此可能有%3的这个关系，由于前面有这样的关系，因此猜测。

如果a和b不是在一个集合中，先进行合并，然后根据关系判断是否为同类。如果a和b在一个集合并且对与头节点有相同的关系，那么一定是同类。

判断a是否吃b，如果不在一个集合中 ，先根据关系进行合并。本段()以内数字都是相对于头的，情况1，a吃头，b和头是同类（a==1,b==0）；情况2，a和头是同类，头吃b(a==0，b==2);情况3：a被头吃，b吃头(a==2,b==1),可以总结为(dist[a]-dist[b]+3)%3==1，a吃b是真话

 代码如下：


#include <cstdio>

#define MAXN 50001

int n, k, ans;
int father[MAXN];
int dist[MAXN];

void prepare() {
    ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        father[i] = i;
        dist[i] = 0;
    }
}

int find(int i) {
    if (i != father[i]) {
        int tmp = father[i];
        father[i] = find(tmp);
        dist[i] = (dist[i] + dist[tmp]) % 3;
    }
    return father[i];
}

void union_(int op, int l, int r) {
    int lf = find(l), rf = find(r), v = op == 1 ? 0 : 1;
    if (lf != rf) {
        father[lf] = rf;
        dist[lf] = (dist[r] - dist[l] + v + 3) % 3;
    }
}

// op == 1, 1 l r,l和r是同类
// op == 2, 2 l r,l吃r
bool check(int op, int l, int r) {
    if (l > n || r > n || (op == 2 && l == r)) {
        return false;
    }
    if (find(l) == find(r)) {
        if (op == 1) {
            if (dist[l] != dist[r]) {
                return false;
            }
        }
        else {
            if ((dist[l] - dist[r] + 3) % 3 != 1) {
                return false;
            }
        }
    }
    return true;
}

int main() {
    FILE* fp = stdin;
    fscanf(fp, "%d%d", &n, &k);
    prepare();
    int op, l, r;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        fscanf(fp, "%d%d%d", &op, &l, &r);
        if (!check(op, l, r)) {
            ans++;
        }
        else {
            union_(op, l, r);
        }
    }
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}
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