优选算法系列（4.前缀和_上）

一.【模板】一维前缀和（easy）

题目链接：【模板】前缀和_牛客题霸_牛客网

解法：

 暴力会超时

解法（前缀和）：

算法思路：

• 先预处理出来⼀个「前缀和」数组：⽤ dp[i] 表示： [1, i] 区间内所有元素的和，那么 dp[i - 1] ⾥⾯存的就是 [1,i - 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式： dp[i] = dp[i - 1] + arr[i] ；
• 使用前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和：当询问的区间是 [l, r] 时：区间内所有元素的和为： dp[r] - dp[l - 1] 。

代码：

C++: 

java:

 

       二：【模板】二维前缀和（medium）

 题目链接：【模板】二维前缀和_牛客题霸_牛客网

 

解法：

类比于⼀维数组的形式，如果我们能处理出来从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这片区域内所有元素的累加和，就可以在 O(1) 的时间内，搞定矩阵内任意区域内所有元素的累加和。因此我们接下来仅需完成两步即可：

• 第一步：搞出来前缀和矩阵

这⾥就要用到⼀维数组里面的拓展知识，我们要在矩阵的最上面和最左边添加上⼀行和⼀列 0，这样我们就可以省去非常多的边界条件的处理（尝试直接搞出来前缀和矩阵，边界条件的处理可能会崩溃的）。处理后的矩阵就像这样：

这样，我们填写前缀和矩阵数组的时候，下标直接从 1 开始，能⼤胆使⽤ i - 1 , j - 1 位置的值。

注意 dp 表与原数组 matrix 内的元素的映射关系：

i. 从 dp 表到 matrix 矩阵，横纵坐标减⼀；

ii. 从 matrix 矩阵到 dp 表，横纵坐标加⼀。

前缀和矩阵中 sum[i][j] 的含义，以及如何递推⼆维前缀和方程

a. sum[i][j] 的含义：

sum[i][j] 表示 ，从 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域内，所有元素的累加和。对应下图的红色区域：

 

a. 递推方程：

其实这个递推方程非常常像我们小学做过求图形⾯积的题，我们可以将 [0, 0] 位置到 [i, j] 位置这段区域分解成下面的部分：

sum[i][j] = 红 + 蓝 + 绿 + ⻩，分析⼀下这四块区域：

1. 黄色部分最简单，它就是数组中的 matr[i - 1][j - 1] （注意坐标的映射关系）
2. 单独的蓝不好求，因为它不是我们定义的状态表⽰中的区域，同理，单独的绿也是；
3. 但是如果是红 + 蓝，正好是我们 dp 数组中 sum[i - 1][j] 的值，美滋滋；
4. 同理，如果是红 + 绿，正好是我们 dp 数组中 sum[i][j - 1] 的值；
5. 如果把上⾯求的三个值加起来，那就是⻩ + 红 + 蓝 + 红 + 绿，发现多算了⼀部分红的⾯积，因此再单独减去红的面积积即可；
6. 红的⾯积正好也是符合 dp 数组的定义的，即 sum[i - 1][j - 1]

综上所述，我们的递推⽅程就是：

sum[i][j]=sum[i - 1][j] + sum[i][j - 1] - sum[i - 1][j - 1]+matrix[i - 1][j - 1]

• 第二步：使用前缀和矩阵

题目的接口中提供的参数是原始矩阵的下标，为了避免下标映射错误，这⾥直接先把下标映射成 dp 表里面对应的下标： row1++, col1++, row2++, col2++

接下来分析如何使⽤这个前缀和矩阵，如下图（注意这⾥的 row 和 col 都处理过了，对应的正是 sum 矩阵中的下标）：

对于左上角  (row1, col1) 、右下⻆ (row2, col2) 围成的区域，正好是红色的部分。因

此我们要求的就是红色部分的面积，继续分析几个区域：

1. 黄色，能直接求出来，就是 sum[row1 - 1, col1 - 1] （为什么减⼀？因为要剔除掉 row 这⼀⾏和 col 这⼀列）
2. 绿⾊，直接求不好求，但是和黄色拼起来，正好是 sum 表内 sum[row1 - 1][col2]的数据；
3. 同理，蓝色不好求，但是 蓝 + ⻩ = sum[row2][col1 - 1] ；
4.  再看看整个面积，好求嘛？非常绿 - 蓝，但是绿蓝不好求，我们可以这样减：整个⾯积 -（绿 + ⻩ ）-（蓝 + ⻩），这样相当于多减去了⼀个黄，再加上即可

综上所述：红 = 整个面积 - （绿 + ⻩）- （蓝 + ⻩）+ ⻩，从而可得红色区域内的元素总和为：

sum[row2][col2]-sum[row2][col1 - 1]-sum[row1 - 1][col2]+sum[row1 - 1][col1 - 1]

代码：

C++:

java:

三：寻找数组的中心下标（easy） 

 题目链接：724. 寻找数组的中心下标 - 力扣（LeetCode）

解法：

从中心下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀

和」。

• 因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表示前缀和，另⼀个表表示后缀和。 （其实某个位置的后缀和就是总数减去前缀和）
• 然后，我们可以用⼀个 for 循环枚举可能的中心下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标。

代码：

C++:

java:

四：除自身以外数组的乘积（medium）

 题目链接：238. 除自身以外数组的乘积 - 力扣（LeetCode）

 

解法：

注意题目的要求，不能使⽤除法，并且要在 O(N) 的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使用暴力的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的方法。

继续分析，根据题意，对于每⼀个位置的最终结果 ret[i] ，它是由两部分组成的：

1. nums[0] * nums[1] * nums[2] * ... * nums[i - 1]
2. nums[i + 1] * nums[i + 2] * ... * nums[n - 1]

于是，我们可以利用前缀和的思想，使⽤两个数组 fs和 bs，分别处理出来两个信息：

1. fs表示：i 位置之前的所有元素，即 [0, i - 1] 区间内所有元素的前缀乘积，
2. bs 表示： i 位置之后的所有元素，即 [i + 1, n - 1] 区间内所有元素的后缀乘积

然后再处理最终结果。

代码：

C++：

java：