【数据结构】堆

堆 Heap

• 完全二叉树：在二叉树中，若当前节点的下标为$i$， 则其父节点的下标为$i/2$，其左子节点的下标为$i\ast 2$，其右子节点的下标为$i\ast 2+1$；
• 某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值
  • 大根堆：父亲不小于儿子
  • 小根堆：不大于

构建大根堆

• 从最后的子树开始 判断是不是最大的是爹

• 

• 然后从下向上构建每个子树

vector<int>maxheap(n+1);
void MaxHeapInit(){
    int len=maxheap.size();//maxheap用vector存的
    int fa;
    reforr(i,1,len/2){//从最后一个节点的爹开始

        fa=maxheap[i];//fa是本次子树的爹
        int son=i*2;//本次爹的左儿子

        while (son<=len)
        {
            if(son<len&&maxheap[son]<maxheap[son+1])son++;//看右儿子是不是比左大 左右儿子和爹之中，最大的应该做爹
            //son此时指向最大的儿子
            if(fa>=maxheap[son])break;//爹比儿子大 不换
            else{
                //爹小了
                maxheap[son/2]=maxheap[son];//儿子上浮
                son*=2;//找儿子的儿子能不能上浮
            }
        }
        maxheap[son/2]=fa;//本次儿子小于爹，把爹放到本次儿子的爹 归位
    }
}

插入

• 堆的最后添加一个节点，然后沿着堆树上升

void insert(int x){
    maxheap.push_back(x);//放到最后
    int len=maxheap.size();
    int son=len;
    while (son>=1&&x>maxheap[son/2-1])//比爹大就换
    {
        maxheap[son-1]=maxheap[son/2-1];//爹下移
        son/=2;
    }
    maxheap[son-1]=x;
}

删除

• 堆中每次只能删堆顶元素
  
• 删除堆顶后把最后子节点放到堆顶位置然后下移
  

void delete(){
    int len=maxheap.size();
    int x==maxheap[len-1];//最后一个子节点上移
    int i=1,son=i*2;
    while(son<=len){
        if(son<=len&&x<maxheap[son])son++;//如果小于右树 优先向右树下移
        if(x>=maxheap[son-1])break;
        maxheap[i-1]=maxheap[son-1];
        i=son;
        son*=2;
    }
    maxheap[i]=x;
}

堆排序

• 无序数组->二叉堆
• 时间复杂度$O(nlogn)$ 不稳定排序

排序稳定性：排序后 2 个相等键值的顺序和排序之前它们的顺序相同

步骤

• 构造大根堆（升序）/小根堆（降序）
  

• 每次交换堆顶和最后一个元素，使堆顶元素（剩下中最大数）归位。

• 然后再构建根堆

void MaxHeapInit_range(int end){
    int len=end;
    int fa;
    reforr(i,1,len/2){
        fa=maxheap[i];
        int son=i*2;
        while (son<=len)
        {
            if(son<len&&maxheap[son]<maxheap[son+1])son++;
            if(fa>=maxheap[son])break;
            else{
                maxheap[son/2]=maxheap[son];
                son*=2;
            }
        }
        maxheap[son/2]=fa;
    }
}
void heap_sort(){
    int len=maxheap.size()-1;
    reforr(i,1,len){
        //display();
        MaxHeapInit_range(i);
        swap(maxheap[1],maxheap[i]);
    }
}
void solve(){
    maxheap.push_back(0);
    int n=7;
    forr(i,1,n){
        int num;
        cin>>num;
        maxheap.push_back(num);
    }
    heap_sort();
    display();
}

priority_queue

• 底层二叉堆实现
• 头文件#include<queue>

priority_queue<int>q;//默认大根堆
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>q;//小根堆

• 对结构体排序时，需要先定义比较符号
  • 大根堆：小于号

    struct pos{
        int x,y;
        bool operator<(const pos&a)const{
            return x<a.x;
        }
    };
    

  • 小根堆：大于号

    struct pos{
        int x,y;
        bool operator>(const pos&a)const{
                return x>a.x;
            }
    };
    priority_queue<pos,vector<pos>,greater<pos>>q;
    

题

P1090 合并果子

思路

• 贪心：每次选择最少的两个堆合并
• 用堆/优先队列

代码

之后填坑…