蓝桥杯—OJ760数的计算问题（递归-递推算法）

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题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的正整数 n)。

详细分析递归过程

总结每次递归调用的计数器变化

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题目描述

我们要求找出具有下列性质数的个数(包含输入的正整数 n)。

先输入一个正整数 n(n≤1000),然后对此正整数按照如下方法进行处理：

1、不作任何处理；

2、在它的左边加上一个正整数,但该正整数不能超过原数的一半；

3、加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加正整数为止。

输入格式
1 个正整数 n(n≤1000)

输出格式
1 个整数，表示具有该性质数的个数。

输入输出样例
输入 

6

输出 

6

答案：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int ans = 0; // 初始化操作次数计数器
int n;

void dfs(int n) {
    if(n == 0) {
        return; // 当 n 为 0 时，结束当前递归调用
    } else {
        // 对 n 的一半及以下的每个值进行递归调用
        for(int i = 0; i <= n / 2; i++) {
            dfs(i); // 对 i 进行递归调用
        }
    }
    ans++; // 每次递归调用结束后，计数器加1
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n; // 读取输入值 n
    dfs(n); // 调用 dfs 函数
    cout << ans; // 输出最终计数结果
    return 0;
}

详细分析递归过程

我们以 n = 6 为例，分析整个递归过程。

1. 初始调用：

   • 调用 dfs(6)，进入递归函数：
     • n 不为 0，进入 else 分支。

2. 处理 dfs(6)：

   • 对 i = 0 到 3（即 6 / 2）进行递归调用：
     • 调用 dfs(0)，返回。
     • 调用 dfs(1)，进入 dfs(1)：
       • 对 i = 0 进行递归调用：
         • 调用 dfs(0)，返回。
       • dfs(1) 递归结束，ans++。
     • 调用 dfs(2)，进入 dfs(2)：
       • 对 i = 0 到 1 进行递归调用：
         • 调用 dfs(0)，返回。
         • 调用 dfs(1)，进入 dfs(1)：
           • 对 i = 0 进行递归调用：
             • 调用 dfs(0)，返回。
           • dfs(1) 递归结束，ans++。
       • dfs(2) 递归结束，ans++。
     • 调用 dfs(3)，进入 dfs(3)：
       • 对 i = 0 到 1 进行递归调用：
         • 调用 dfs(0)，返回。
         • 调用 dfs(1)，进入 dfs(1)：
           • 对 i = 0 进行递归调用：
             • 调用 dfs(0)，返回。
           • dfs(1) 递归结束，ans++。
         • 调用 dfs(2)，进入 dfs(2)：
           • 对 i = 0 到 1 进行递归调用：
             • 调用 dfs(0)，返回。
             • 调用 dfs(1)，进入 dfs(1)：
               • 对 i = 0 进行递归调用：
                 • 调用 dfs(0)，返回。
               • dfs(1) 递归结束，ans++。
           • dfs(2) 递归结束，ans++。
       • dfs(3) 递归结束，ans++。

3. 递归结束：

   • dfs(6) 递归结束，ans++。

总结每次递归调用的计数器变化

以下是详细的计数器变化情况：

• dfs(6):
  • 递归 dfs(0)：不增加 ans。
  • 递归 dfs(1)：1 次递归，ans 增加 1。
  • 递归 dfs(2)：2 次递归，ans 增加 2。
  • 递归 dfs(3)：3 次递归，ans 增加 3。

最终，dfs(6) 本身也会使 ans 增加 1。因此，总共计数器 ans 增加 6 次。