目录
1.树形结构（了解）
1.1 概念
树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。。把它叫做树是因为他看起来就像一颗倒挂的树，也就是说它是根朝上的，而叶朝下的。它具有以下特点：
- 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
- 除根结点外，其余结点被分成M（M>0）个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti（i<m）又是一与树类似的子树。每颗子树的根节点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
- 树是递归定义的。
注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。
1.2 概念（重要）
结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：A的度为6.
树的度：一颗树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为6.
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I……等结点为叶节点。
双亲结点或父节点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子节点的父结点；如上图：A是B的父节点。
孩子结点或子节点：一个结点含有的子树的根节点成为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点。
根结点：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：A。
结点的层次：从根节点开始定义起，根为第一层，根的子节点为第2层，一以此类推。
树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4。
树的以下概念只需了解，知道意思就行：
非终端结点或分支结点：度不为0的结点；如上图：D、E、F、G……等结点为分支结点。
兄弟结点：具有相同父节点的结点互称为兄弟结点；如上图：B、C是兄弟结点。
堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟结点。
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：H、I 互为兄弟结点。
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙，如上图：所有节点都是A的子孙。
森林：由m（m>=0）颗互补相交的树组成的集合称为森林。
1.3 树的表示形式（了解）
树的结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中数有很多种表示的方式，如：双亲表示法，孩子表示法，双亲孩子表示法，孩子兄弟表示法等等。我们了解最常用的孩子兄弟表示法。
class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}
1.4 树的应用
文件系统管理（目录和文件）
2. 二叉树
2.1 概念
一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
- 或者为空。
- 或者是由一个根节点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成。
从上图可以看出：
- 二叉树不存在度大于2的特点。
- 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序数。
注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：
大自然的奇观：
2.2 两种特殊的二叉树
- 满二叉树：一颗二叉树，如果每层的结点数都达到最大值，则这颗二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一颗二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则它是满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为k的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个节点都与深度为k的满二叉树中编号从0至n-1的结点一一对应称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
2.3 二叉树的性质
- 若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)（i>0）个结点。
- 若规定只有根结点的二叉树的深度为1，则深度为k的二叉树的最大结点数是2^k-1(k>=0).
- 对任何一颗二叉树，如果其叶节点个数为n0,。度为2的非叶结点个数为n2，则有n0=n2+1.
- 具有n个结点的完全二叉树的深度k为log2（n+1）上取整。
- 对于具有n个节点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号的节点有：
- 若i>0，双亲序号：（i-1）/2；i=0，i为根节点编号，无双亲结点。
- 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子。
- 若2i+1<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子。
1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199
2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2
3.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
4.一棵完全二叉树的节点数为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
答案：
1.B
2.A
3.B
4.B2.4 二叉树的存储
二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。
顺序存储在下一篇介绍。
二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的方式为二叉和三叉表示方式，具体如下：
// 孩子表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
int val; // 数据域
Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
Node parent; // 当前节点的根节点
}
2.5 二叉树的基本操作
2.5.1 前置说明
public class BinaryTree{
public static class BTNode{
BTNode left;
BTNode right;
int value;
BTNode(int value){
this.value = value;
}
}
private BTNode root;
public void createBinaryTree(){
BTNode node1 = new BTNode(1);
BTNode node1 = new BTNode(2);
BTNode node1 = new BTNode(3);
BTNode node1 = new BTNode(4);
BTNode node1 = new BTNode(5);
BTNode node1 = new BTNode(6);
root = node1;
node1.left = node2;
node2.left = node3;
node1.right = node4;
node4.left = node5;
node5.right = node6;
}
}注意：这并不创建二叉树的方式。
2.5.2 二叉树的遍历
1. 前中后序遍历
学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历，所谓遍历是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题（比如：打印节点内容，节点内容加1）。遍历是二叉树上的最重要的操作之一，是二叉树上进行其他运算之基础。
在变量二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果比较混乱，如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的。如果N代表根节点，L代表根节点的左子树，R代表根结点的右子树，则根据遍历根结点的先后次序有以下遍历方式：
- NLR：前序遍历（亦称先序遍历）——访问根节点——根的左子树——根的右子树。
- LNR：中序遍历——根的左子树——根结点——根的右子树。
- LRN：后序遍历——根的左子树——根的右子树——根节点。
// 前序遍历
void preOrder(Node root);
// 中序遍历
void inOrder(Node root);
// 后序遍历
void postOrder(Node root);
前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果： 3 1 5 6 4 1
2. 层序遍历
层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，依次类推，自上而下，自左到右逐层访问树的节点的过程就是层序遍历。
1.某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为 ABCDEFGH 。该完全二叉树的前序序列为()
A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA
2.二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：EFHIGJK;中序遍历：HFIEJKG.则二叉树根结点为()
A: E B: F C: G D: H
3.设一课二叉树的中序遍历序列：badce，后序遍历序列：bdeca，则二叉树前序遍历序列为()
A: adbce B: decab C: debac D: abcde
4.某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为 ABCDEF ，则按层次输出(同一层从左到右)的序列为()
A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF
【参考答案】 1.A 2.A 3.D 4.A2.5.3 二叉树的基本操作
// 获取树中节点的个数
int size(Node root);
// 获取叶子节点的个数
int getLeafNodeCount(Node root);
// 子问题思路-求叶子结点个数
// 获取第K层节点的个数
int getKLevelNodeCount(Node root,int k);
// 获取二叉树的高度
int getHeight(Node root);
// 检测值为value的元素是否存在
Node find(Node root, int val);
//层序遍历
void levelOrder(Node root);
// 判断一棵树是不是完全二叉树
boolean isCompleteTree(Node root);
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